a: Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
b: Gọi giao điểm của AD với (O) là F, \(F\ne D;F\ne A\)
=>D,F cùng nằm trên (O)
=>OD=OF
=>ΔODF cân tại O
Ta có; ΔODF cân tại O
mà OM là đường cao
nên M là trung điểm của FD
Xét ΔOMA vuông tại M và ΔOHK vuông tại H có
\(\widehat{MOA}\) chung
Do đó: ΔOMA đồng dạng với ΔOHK
=>\(\dfrac{OM}{OH}=\dfrac{OA}{OK}\)
=>\(OM\cdot OK=OH\cdot OA\left(3\right)\)
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=OD^2\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(OM\cdot OK=OD^2\)
=>\(\dfrac{OM}{OD}=\dfrac{OD}{OK}\)
Xét ΔOMD và ΔODK có
\(\dfrac{OM}{OD}=\dfrac{OD}{OK}\)
\(\widehat{MOD}\) chung
Do đó: ΔOMD đồng dạng với ΔODK
=>\(\widehat{OMD}=\widehat{ODK}=90^0\)
=>KD là tiếp tuyến của (O;R)
c:
Ta có: \(\widehat{HOC}+\widehat{HAC}=90^0\)(ΔOCA vuông tại C)
\(\widehat{HCA}+\widehat{HAC}=90^0\)(ΔHAC vuông tại H)
Do đó: \(\widehat{HOC}=\widehat{HCA}\)
Xét ΔHOC vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có
\(\widehat{HOC}=\widehat{HCA}\)
Do đó: ΔHOC đồng dạng với ΔHCA
