Question

Answer 1

Lời giải:

Gọi biểu thức vế trái là $A$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{a(b^2+1)}{4}\geq a^2$
$\frac{b^3}{1+a^2}+\frac{b(a^2+1)}{4}\geq b^2$

$\Rightarrow A+\frac{a(b^2+1)+b(a^2+1)}{4}\geq a^2+b^2$
$\Leftrightarrow A+\frac{ab(a+b)+a+b}{4}\geq a^2+b^2$

$\Leftrightarrow A+\frac{a+b}{2}\geq a^2+b^2$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$a^2+1\geq 2a$

$b^2+1\geq 2b$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 2(a+b)-2$

$\Rightarrow A+\frac{a+b}{2}\geq a^2+b^2\geq 2(a+b)-2$

$\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}(a+b)-2\geq \frac{3}{2}.2\sqrt{ab}-2=3-2=1$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$