Bé tự vẽ hình nhé!
a.
Ta có \(\widehat{ADB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow\widehat{ADC}=90^o\) (kề bù với \(\widehat{ADB}\) )
Xét tứ giác \(ACDH\) có \(\widehat{AHC}=\widehat{ADC}=90^o\)
\(\Rightarrow\) tứ giác \(ACDH\) nội tiếp.
b. Ta có \(\widehat{CAD}=\widehat{CHD}\) (tứ giác \(ACDH\) nội tiếp)
Mà \(\widehat{CAD}=\widehat{ABC}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\) )
\(\Rightarrow\widehat{CHD}=\widehat{ABC}\)
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông AOC, có:
\(OA^2=OH.OC\\ \Rightarrow OB^2=OH.OC\left(OA=OB\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{OH}{OB}\)
Xét tam giác OHB và tam giác OBC có:
\(\widehat{BOC}\) chung
\(\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{OH}{OB}\)
Do đó, tam giác OHB đồng dạng tam giác OBC.
\(\Rightarrow\widehat{OHB}=\widehat{OBC}\)
\(\Rightarrow\widehat{OHB}=\widehat{CHD}\)
Mà \(\widehat{CHD}+\widehat{DHM}=\widehat{MHB}+\widehat{OHB}\left(=90^o\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{DHM}=\widehat{MHB}\)
\(\Rightarrow HM\) là tia phân giác của \(\widehat{BHD}\) .
c.
Xét tam giác HBD có HM là đường phân giác trong tại đỉnh H.
Mà \(HC\perp HM\)
\(\Rightarrow HC\) là đường phân giác ngoài tại đỉnh H.
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{MD}{MB}=\dfrac{HD}{HB}\\\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{HD}{HB}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{MD}{MB}=\dfrac{CD}{CB}\Leftrightarrow MD.BC=MB.CD\)
d. Gọi N là giao điểm thứ 2 của AH và \(\left(O\right)\)
Tam giác OAN cân tại O, có OH là đường cao
\(\Rightarrow\widehat{AOC}=\widehat{NOC}\) \(\Rightarrow\) tam giác ONC = tam giác OAC.
\(\Rightarrow\widehat{ONC}=\widehat{OAC}=90^o\)
(O) có K là trung điểm của dây BD khác đường kính.
\(\Rightarrow OK\perp BD\) \(\Rightarrow\widehat{OKC}=90^o\)
Do đó, 5 điểm A, C, N, K, O cùng thuộc đường tròn đường kính OC.
Dễ chứng minh bài toán phụ: Nếu 2 dây AB và CD của (O) cắt nhau tại I thì \(IA.IB=IC.ID\)
Áp dụng bài toán trên, ta có:
(O) có 2 dây AN và BD cắt nhau tại M nên \(MA.MN=MB.MD\)
Đường tròn đường kính OC có 2 dây AN và CK cắt nhau tại M nên \(MA.MN=MC.MK\)
Do đó: \(MB.MD=MC.MK\)
(O) có 2 dây AN và IJ cắt nhau tại M nên \(MA.MN=MI.MJ\)
\(\Rightarrow MI.MJ=MC.MK\)
\(\Rightarrow\dfrac{MI}{MK}=\dfrac{MC}{MJ}\) . Do đó, tam giác MIC đồng dạng tam giác MKJ
\(\Rightarrow\widehat{MCI}=\widehat{MJK}\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(EJKM\) nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{EJM}=\widehat{EKM}=90^o\)
Gọi F là giao điểm thứ hai của CO với (O).
\(\Rightarrow\widehat{IJF}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow\widehat{EJF}=180^o\)
\(\Rightarrow\) E, J, F thẳng hàng.
\(\Rightarrow\) OC và EJ cắt nhau tại điểm F thuộc (O).
