\(\left(m-2\right)x^4-2mx^2+m+4=0\left(1\right)\) \(\left(m\ne2\right)\)
Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\). Khi đó phương trình (1) trở thành:
\(\left(m-2\right)t^2-2mt+m+4=0\left(2\right)\)
a) Ta có: \(\Delta'\left(2\right)=m^2-\left(m-2\right)\left(m+4\right)=m^2-\left(m^2+2m-8\right)=-2\left(m-4\right)\)
Để phương trình (2) có 2 nghiệm thì \(\Delta'\left(2\right)\ge0\) hay \(-2\left(m-4\right)\ge0\Rightarrow m\le4\).
Theo định lí Viete cho phương trình (2) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=\dfrac{2m}{m-2}\\t_1t_2=\dfrac{m+4}{m-2}\end{matrix}\right.\). Mặt khác \(t_1,t_2\ge0\) nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m}{m-2}\ge0\\\dfrac{m+4}{m-2}\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\le0\\m>2\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m>2\\m\le-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-4\\m>2\end{matrix}\right.\)
Kết hợp với điều kiện \(m\le4\) ta có: \(\left[{}\begin{matrix}m\le-4\\2< m\le4\end{matrix}\right.\)
Vậy với \(m\le-4\) hay \(2< m\le4\) thì phương trình (1) có 4 nghiệm.
b) Ta nhận xét: với mỗi nghiệm trong phương trình (2) thì cho ra 2 nghiệm đối nhau của phương trình (1).
Do đó bình phương của 2 nghiệm dương trong phương trình (1) không thể cùng bằng 1 nghiệm trong phương trình (2).
Vì h,k là 2 nghiệm dương của phương trinh (1) nên ta giả sử \(t_1=h^2;t_2=k^2\).
Trong phương trình (2) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=\dfrac{2m}{m-2}\\t_1t_2=\dfrac{m+4}{m-2}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=2+\dfrac{4}{m-2}\\t_1t_2=1+\dfrac{6}{m-2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3\left(t_1+t_2\right)-2t_1t_2=3.\left(2+\dfrac{4}{m-2}\right)-2.\left(1+\dfrac{6}{m-2}\right)=4\)
\(\Rightarrow3\left(h^2+k^2\right)-2h^2k^2-4=0\)
Đây là hệ thức liên hệ giữa h và k độc lập với m.
