Bài 7:
a: ΔABC vuông tại A
=>\(BC^2=AB^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2\)
=>BC=15(cm)
Xét ΔABC có AD là phân giác
nên \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{9}{12}=\frac34\)
=>\(\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}\)
mà DB+DC=BC=15cm
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}=\frac{DB+DC}{3+4}=\frac{15}{7}\)
=>\(\begin{cases}DB=3\cdot\frac{15}{7}=\frac{45}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\\ DC=4\cdot\frac{15}{7}=\frac{60}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\end{cases}\)
DE⊥AC
AB⊥ AC
Do đó: DE//AB
Xét ΔCAB có DE//AB
nên \(\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CB}\)
=>\(\frac{DE}{9}=\frac{60}{7}:15=\frac47\)
=>\(DE=9\cdot\frac47=\frac{36}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\)
b: \(\frac{BD}{CD}=\frac34\)
=>\(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac34\)
Bài 4:
a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có
góc DAB chung
Do đó: ΔADB~ΔAEC
b: Xét ΔHEB vuông tại E và ΔHDC vuông tại D có
\(\hat{EHB}=\hat{DHC}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHEB~ΔHDC
=>\(\frac{HE}{HD}=\frac{HB}{HC}\)
=>\(HE\cdot HC=HD\cdot HB\)
c: Ta có: BH⊥AC
CK⊥AC
Do đó: BH//CK
Ta có: CH⊥AB
BK⊥BA
Do đó: CH//BK
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
Do đó: BHCK là hình bình hành
=>CB cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HK
=>H,M,K thẳng hàng
d: Hình bình hành BHCK trở thành hình thoi khi BH=HC
=>ΔHBC cân tại H
=>\(\hat{HBC}=\hat{HCB}\)
=>\(90^0-\hat{HBC}=90^0-\hat{HCB}\)
=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}\)
=>AB=AC
