1. Do tam giác ABC cân tại A mà AM là đường trung tuyến (do M là trung điểm của BC)
\(\Rightarrow\) AM cũng là đường cao trong tam giác ABC
\(\Rightarrow AM\perp BC\) \(\Rightarrow\widehat{AMC}=90^0\)
Xét tam giác AMC và tam giác MNC có:
Góc C chung
\(\widehat{AMC}=\widehat{ANM}=90^0\)
nên \(\Delta AMC\sim\Delta MNC\left(g.g\right)\)
2. \(\Delta AMC\sim\Delta MNC\)\(\Rightarrow\dfrac{AM}{MN}=\dfrac{MC}{NC}\Leftrightarrow AM.NC=MC.MN\)
Do O và M lần lượt là trung điểm của MN và BC
\(\Rightarrow\dfrac{OM}{MC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.MN}{\dfrac{1}{2}.BC}=\dfrac{MN}{BC}\Leftrightarrow OM.BC=MC.MN\)
\(\Rightarrow AM.NC=OM.BC\)
3. Có \(AM.NC=OM.BC\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AM}{BC}=\dfrac{OM}{NC}\) (1)
Có \(\widehat{C}+\widehat{CMN}=90^0\)
\(\widehat{CMN}+\widehat{NMA}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{NMA}\) (2)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\Delta AOM\sim\Delta BNC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{MAO}=\widehat{CBN}\)
Gọi I là giao điểm của AO và BN; F là gđ của AM và BN
Có \(\widehat{AIF}+\widehat{IAF}=\widehat{FBM}+\widehat{BMF}\)
mà \(\widehat{IAF}=\widehat{FBM}\)
\(\Rightarrow\widehat{AIF}=\widehat{BMF}=90^0\)
\(\Rightarrow AI\perp FI\) hay \(AO\perp BN\) (đpcm)
