a) Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có
\(\widehat{ABH}\) chung
Do đó: ΔHBA\(\sim\)ΔABC(g-g)
b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=15^2+20^2=625\)
hay BC=25(cm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\BH\cdot BC=AB^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{15\cdot20}{25}=\dfrac{300}{25}=12\left(cm\right)\\BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{15^2}{25}=\dfrac{225}{25}=9\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
Xét ΔABH có AD là đường phân giác ứng với cạnh BH(gt)
nên \(\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DH}{AH}\)(Tính chất tia phân giác của tam giác)
hay \(\dfrac{DB}{15}=\dfrac{DH}{12}\)
mà DB+DH=9cm
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{DB}{15}=\dfrac{DH}{12}=\dfrac{DB+DH}{15+12}=\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}\)
Do đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}DB=\dfrac{1}{3}\cdot15=5\left(cm\right)\\DH=12\cdot\dfrac{1}{3}=4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy: DB=5cm; DH=4cm
