Cho hình 19
Trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng :
a) \(S_{AGC}=2S_{GMC}\)
b) \(S_{GMB}=S_{GMC}\)
c) \(S_{AGC}=S_{AGC}=S_{BGC}\)
Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A thuộc cạnh Ox, điểm B thuộc cạnh Oy
a) Hãy tìm điểm M nằm trong góc xOy, cách đều Ox, Oy và cách đều A, B
b) Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a) ?
a) - Điểm nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh Ox và Oy nên nó thuộc tia phân giác Ot của góc xOy
- Điểm cách đều 2 điểm A và B thuộc đường thẳng d là đường trung trực của AB
Vậy M là giao điểm của dường trung trực của đoạn thẳng AB và tia phân giác Ot của góc xOy
b) Nếu OA = OB
⇒ ∆OAB cân tại O
Tia phân giác của góc xOy cũng là đường trung trực của AB. Vậy bất kỳ điểm M nào nằm trên tia phân giác của góc xOy đều thỏa mãn điều kiện câu a.
Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng một chiếc thước thẳng có chia khoảng, hãy nêu cách vẽ tia phân giác của góc xOy ?
1.Vẽ đường thẳng a song song với Ox
2.Vẽ đường thẳng b song song với Oy
3.Gọi giao điểm của a và b là M
4. Nối O với M. Đó chính là đường phân giác của góc xOy
Cho hình 20 :
Trong đó giao điểm O của hai đường thẳng a và b nằm ngoài phạm vi tờ giấy. Chỉ vẽ hình trong phạm vi tờ giấy, hãy vẽ đường thẳng d đi qua A sao cho đường thẳng d cũng đi qua O nếu kéo dài đường thẳng d ra ngoài phạm vi tờ giấy.
- Kẻ AH⊥aAH⊥a kéo dài, HA cắt b tại B.
- Kẻ AK⊥bAK⊥b kéo dài KA cắt a tại C.
- Kẻ AI⊥BCAI⊥BC, đường thẳng AI đi qua O.
Vì trong ∆OBC có 2 đường cao BH và CK cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ∆OBC.
OA là đường cao thứ 3 nên OA⊥BCOA⊥BC
AI⊥BCAI⊥BC nên đường thẳng OA và đường thẳng AI trùng nhau hay đường thẳng AI đi qua O.
Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần (không kể đường thẳng d) : phần chứa điểm A kí hiệu là \(P_A\), phần chứa điểm B kí hiệu là \(P_B\) (h.21)
a) Gọi M là một điểm \(P_A\). Chứng minh rằng MA < MB
b) Gọi N là một điểm \(P_B\). Chứng minh rằng NB < NA
c) Gọi K là một điểm sao cho KA < KB. Hỏi rằng K nằm ở đâu : trong \(P_A,P_B\) hay trên d ?
a. Gọi C là giao điểm của MB với đường thẳng d.
Ta có: MB=MC+CB
mà CA=CB(tính chất đường trung trực)
Suy ra: MB=MC+CA(1)
Trong ΔMAC ta có:
MA<MC+CA(bất đẳng thức tam giác)(2)
Từ (1) và (2) suy ra: MA<MB
b.Gọi D là giao điểm của NA với đường thẳng d.
Ta có: NA=ND+DA
mà DA=DB(tính chất đường trung trực)
Suy ra: NA=ND+DB(3)
Trong ΔNDB, ta có:
NB<ND+DB (bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: NA>NB
c) Theo phần a và b; với điểm H bất kì ta có:
+ Nếu H nằm trong phần PA thì HA < HB.
+ Nếu H nằm trong phần PB thì HB < HA.
+ Nếu H nằm trên đường thẳng d thì HA = HB (tính chất đường trung trực)
Do đó, để KA < KB thì K nằm trong phần PA.
Cho tam giác ABC, các đường phân giác của các góc ngoài tại B và C cắt nhau ở E. Gọi G, H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ E đến các đường thẳng BC, Ab, AC
a) Có nhận xét gì về các độ dài EH, EG, EK
b) Chứng minh AE là tia phân giác của góc BAC
c) Đường phân giác của góc ngoài tại A của tam giác ABC cắt các đường thẳng BE, CE tại D, F. Chứng minh rằng EA vuông góc với DF
d) Các đường thẳng AE, BF, CD là các đường gì trong tam giác ABC ?
e) Các đường thẳng EA, FB, DC là các đường gì trong tam giác DEF ?
a) E thuộc tia phân giác của CBH^
⇒ EG = EH (tính chất tia phân giác) (1)
E thuộc tia phân giác của BCK^
⇒ EG = EK (tính chất tia phân giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EH = EG = EK
b) EH = EK
⇒ E thuộc tia phân giác của BAC^ mà E # A
Vậy AE là tia phân giác của BAC^
c) AE là tia phân giác góc trong tại đỉnh A.
AF là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A.
⇒ AE⊥AF (tính chất hai góc kề bù)
Hay AE⊥DF
d) Chứng minh tương tự câu a ta có BF là tia phân giác của ABC^
CD là tia phân giác của ACB^
Vậy các đường AE, BF, CD là các đường phân giác của ∆ABC
e) BF là phân giác góc trong tại đỉnh B.
BE là phân giác góc ngoài tại đỉnh B.
⇒BF⊥BE (tính chất hai góc kề bù)
Hay BF⊥ED
CD là đường phân giác góc trong tại C
CE là đường phân giác góc ngoài tại C
⇒CD⊥CE (tính chất hai góc kề bù)
Hay
Chứng minh rằng trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường trung tuyến xuất phát từ cùng một đỉnh ?
Trường hợp 1: ΔABC không cân
=>AM>AH(ΔAHM vuông tại H)
Trường hợp 2: ΔABC cân tại A
=>M trùng với H
=>AM=AH
Do đó: AM>=AH
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE vuông góc với nhau. Chứng minh rằng BC < 2AC ?
BC < 2AC nếu 12BC=CD<AC12BC=CD<AC
Xét hai tam giác ADC có ˆD1=ˆG1+ˆB1D1^=G1^+B1^. Theo giả thiết ˆG1=90∘G1^=90∘ nên ˆD1D1^ là góc tù.
Cạnh AC đối diện với góc D1D1 nên là cạnh lớn nhất, vậy AC > DC hay 2AC > 2DC = BC.
Ba đường phân giác AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại O. Kẻ đường vuông góc OG đến BC. Chứng minh rằng \(\widehat{BOG}=\widehat{COD}\) ?
Tham khảo:
(vì góc BOD là góc ngoài)
(Do BO,CO là các tia phân giác của tam giác ABC)
Cho tam giác ABC cân tại B có \(\widehat{B}=112^0\). Kẻ đường cao AH và đường phân giác AD của tam giác đó. Tính các góc của tam giác AHD ?
\(\widehat{ABH}=180^0-112^0=68^0\)
Xét ΔAHB vuông tại H có
\(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^0\)
nên \(\widehat{BAH}=22^0\)
Vì ΔABC cân tại B
nên \(\widehat{BAC}=\dfrac{180^0-112^0}{2}=34^0\)
mà AD là phân giác
nên \(\widehat{BAD}=17^0\)
=>\(\widehat{HAD}=39^0\)
hay \(\widehat{HDA}=51^0\)
a: Kẻ CH vuông góc với AM
\(S_{AGC}=\dfrac{CH\cdot AG}{2}\)
\(S_{GMC}=\dfrac{CH\cdot MG}{2}\)
mà AG=2MG
nên \(S_{AGC}=2S_{GMC}\)
b: Kẻ GK vuông góc với BC
\(S_{GMB}=\dfrac{BM\cdot GK}{2}\)
\(S_{GMC}=\dfrac{MC\cdot GK}{2}\)
mà BM=CM
nên \(S_{GMB}=S_{GMC}\)