Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài như sau : 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm và 5 cm ?
Đố :
Bốn điểm dân cư được xây dựng như hình 58. Hãy tìm vị trí đặt một nhà máy sau cho tổng các khoảng cách từ nhà máy đến 4 điểm dân cư này là nhỏ nhất ?
Gọi O là một điểm tùy ý (nơi phải đặt nhà máy) A, B, C, D lần lượt là bốn điểm dân cư.
Tổng khoảng cách từ nhà máy đến 4 khu dân cư là: OA + OB + OC + OD
Ta có:
Vậy khi O là giao điểm của AC và BD thì tổng khoảng cách từ nhà máy này đến các khu dân cư là ngắn nhất.
Cho tam giác MNP với đường trung tuyến MR và trọng tâm Q
a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MPQ và RPQ
b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ
c) So sánh các diện tích của hai tam giác RPQ và RNQ
Từ các kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích
Gợi ý : Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao
Cho góc xOy. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai cạnh Ox, Oy
a) Hãy tìm điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy và cách đều hai điểm A, B
b) Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a ?
a) Tìm M khi độ OA, OB là bất kì
- Vì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác Oz của góc xOy (1).
- Vì M cách đều hai điểm A, B nên M nằm trên đường trung trực của đoạn AB (2).
Từ (1) và (2) ta xác định được điểm M là giao điểm của đường phân giác Oz của góc xOy và đường trung trực của đoạn AB.
b) Tìm M khi OA = OB
- Vì điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác của góc xOy (3).
- Ta có OA = OB. Vậy ΔAOB cân tại O.
Trong tam giác cân OAB đường phân giác Oz cũng là đường trung trực của đoạn AB (4).
Từ (3) và (4) ta xác định được vô số điểm M nằm trên đường phân giác Oz của góc xOy thỏa mãn điều kiện bài toán.
Cho hai đường thẳng phân biệt không song song a và b, điểm M nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua M lần lượt vẽ đường thẳng c vuông góc với a tại P, cắt b tại Q và đường thẳng d vuông góc với b tại R, cắt a tại S. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với SQ cũng đi qua giao điểm của a và b ?
(a) và (b) không song song nên (a) cắt (b), gọi giao điểm là O. Tam giác OSQ có PQ và RS là hai đường cao gặp nhau tại M nên M là trực tâm của tam giác nên đường thẳng vẽ từ M và vuông góc với SQ là đường cao thứ ba của tam giác tức là đường vuông góc với SQ vẽ từ M cũng đi qua giao điểm của a và b
Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB
a) Ta kí hiệu \(P_A\) là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A (không kể đường thẳng d). Gọi N là một điểm của \(P_A\) và M là giao điểm của đường thẳn NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA; từ đó suy ra NA < NB
b) Ta kí hiệu \(P_B\) là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm B (không kể d). Gọi N' là một điểm của \(P_B\). Chứng minh rằng N'B < N'A
c) Gọi L là một điểm sao cho LA < LB. Hỏi điểm L nằm ở đâu trong \(P_A,P_B\) hay trên d ?
Hướng dẫn làm bài:
a) Vì M nằm trên d, d là trung trực của AB nên MA = MB (1)
Vì nên đoạn thẳng NB cắt d tại M suy ra M nằm giữa N và B.
Hay NM + MB = NB (2)
Từ (1) và (2) => NB = MA + NM
b) Gọi AN’ cắt d tại I
Trong tam giác N’IB có : N’B < IN’ + IB
Mà IA = IB (I thuộc trung trực của AB)
=> N’B < IN’ + NA => N’B < AN’
c) Vì LA < LB nên L không thuộc d, theo chứng minh câu b suy ra L thuộc PA.
Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CA
a) Hãy so sánh các góc AMB và ANC
b) Hãy so sánh các độ dài AM và AN
Trong ∆ABC có AB < AC
⇒ góc ABC= góc ACB (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) (1)
Ta có: AB = BM (gt)
⇒ góc ∆ABM cân tại B
⇒ góc M = góc A1(tính chất tam giác cân)
Trong ∆ABM ta có có góc ngoài tại đỉnh B
góc ABC= góc M+ góc A1
Suy ra: góc M=12 góc ABC (2)
Ta có: AC = CN (gt)
⇒ ∆CAN cân tại C⇒ góc N= góc A2 (tính chất tam giác cân)
Trong ∆CAN ta có góc ACB là góc ngoài tại đỉnh C.
⇒góc ACB= góc N+ góc A2
Suy ra: góc N=12 góc ACB (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: góc M > góc N
b) Trong ∆AMN ta có: góc M> góc N
Cho tam giác ABC có AB < AC, đường cao AH.
Chứng minh rằng :
\(HB< HC,\widehat{HAB}< \widehat{HAC}\)
(Xét hai trường hợp : \(\widehat{B}\) nhọn và \(\widehat{B}\) tù )
Ta có: AB < AC (gt)
Suy ra: HB < HC (đường xiên lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn)
* Trường hợp góc B nhọn
Trong Δ ABC, ta có: AB < AC
Suy ra: góc B > góc C(đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)
Trong Δ AHB, ta có góc AHB = \(90^0\)
Suy ra: góc B + góc HAB = \(90^0\) (tính chất tam giác vuông) (1)
Trong Δ AHC, ta có góc AHC = \(90^0\)
Suy ra: góc C + góc HAC = \(90^0\) (tính chất tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: góc B + góc HAB) = góc C + góc HAC
Mà góc B > góc C nên góc HAB < góc HAC
* Trường hợp Btù
Vì điểm B nằm giữa H và C nên góc HAC = góc HAB + góc BAC
Vậy góc HAB < góc HAC.
Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài 1cm, 2cm, 3cm, 5cm ?
bài này khó nhề :)
Cho bốn điểm A, B, C, D như trên hình 18. Hãy tìm một điểm M sao cho tổng MA + MB + MC + MD là nhỏ nhất ?
Nếu M không là giao điểm của AC và BD thì MA+MC>AC; MB+MD>BD
=>MA+MB+MC+MD>AC+BD(1)
Nếu M là giao điểm của AC và BD thì MA+MB+MC+MD=AC+BD(2)
Từ (1) và (2) suy ra MA+MB+MC+MD>=AC+BD
Dấu '=' xảy ra khi M là giao điểm của AC và BD
Để tạo được một tam giác thì độ dài ba cạnh phải thoả mãn bất đẳng thức tam giác đó là tổng độ dài hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn cạnh còn lại.
Vì vậy chỉ có bộ ba độ dài sau thoả mãn (2,3,4); (2,4,5); (3,4,5).
(Lưu ý: để xét cho nhanh, các bạn áp dụng phần Lưu ý (trang 63 sgk Toán 7 Tập 2)), tức là ta so sánh độ dài lớn nhất với tổng hai cạnh hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu hai cạnh.
Ví dụ với cặp 3 độ dài (1, 2, 3) không là ba cạnh vì:
- bất đẳng thức 3 > 2 + 1 sai
- hoặc bất đẳng thức 3 - 2 < 1 sai)