Tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 34 cm, BC = 32 cm. Kẻ đường trung tuyến AM
a) Chứng minh rằng \(AM\perp BC\)
b) Tính độ dài AM
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vẽ điểm D sao cho G là trung điểm của AD. Chứng minh rằng :
a) Các cạnh của tam giác BGD bằng \(\dfrac{2}{3}\) các đường trung tuyến của tam giác ABC
b) Các đường trung tuyến của tam giác BGD bằng một nửa các cạnh của tam giác ABC
a) Gọi AM , BN , CP là các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) . Ta có GD = AG = 2GM và GD = GM + MD nên GM = MD
\(\Delta BMD=\Delta CMG\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow BD=CG=\dfrac{2}{3}CP\) (1)
Ta có \(BG=\dfrac{2}{3}BN\) (2)
\(GD=AG=\dfrac{2}{3}AM\) (3)
Từ (1) , (2) , (3) suy ra các cạnh của \(\Delta BGD=\dfrac{2}{3}\) các đường trung truyến của \(\Delta ABC\)
b) Gọi CE , DF là các đường trung tuyến của \(\Delta BGD\) . Từ đây tự chứng minh \(BM=\dfrac{1}{2}BC;GE=\dfrac{1}{2}AB;DF=AN=\dfrac{1}{2}AC\)
Tam giác ABC có BC = 10cm, các đường trung tuyến BD và CE.
Chứng minh rằng :
BD + CE > 15 cm
Gọi giao điểm của BD và CE là G
=>G là trọng tâm của ΔABC
=>BG=2/3BD; CG=2/3CE
BG+CG>BC
hay BG+CG>10
=>2/3(BD+CE)>10
=>BD+CE>15
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho \(BE=\dfrac{1}{3}BC\). Gọi K là giao điểm của AE và CD.
Chứng minh rằng DK = KC
Xét ΔACD có
CB là đường trung tuyến
CE=2/3CB
Do đó: E là trọng tâm của ΔACD
=>AE là đường trung tuyến ứng với cạnh DC
=>K là trung điểm của CD
Theo kết quả của bài 64 chương II, phần Hình học, SBT Toán 7 một ta có :
Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy
Vận dụng kết quả trên để giải bài toán sau : Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Kẻ đường trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng :
a) IK // DE, IK = DE
b) \(AG=\dfrac{2}{3}AD\)
a) DE // AB, DE = \(\dfrac{1}{2}\)AB, IK // AB, IK = \(\dfrac{1}{2}\)AB
=> DE//IK và DE = IK
b) Xét tg GDE và tg GIK có:
DE = IK (cmt)
GDE = GIK (slt)
GED = GKI (slt)
=> tg GDE = tg GIK (g.c.g)
=> GD = GI ( c.t.ứ)
Có GD = GI = IA nên AG = \(\dfrac{2}{3}\)AD
Cho tam giác ABC vuông tại A. đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA
a) Tính số đo góc ABD
b) Chứng minh : \(\Delta ABC=\Delta BAD\)
c) So sánh độ dài AM và BC
a. Xét ΔAMC và ΔBMD, ta có:
BM = MC (gt)
∠(AMB) = ∠(BMC) (đối đỉnh)
AM = MD (gt)
Suy ra: ΔAMC = ΔDMB (c.g.c)
⇒ ∠(MAC) = ∠D (2 góc tương ứng)
Suy ra: AC // BD
(vì có 2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Mà AB ⊥ AC (gt) nên AB ⊥ BD.
Vậy (ABD) = 90o
b. Xét ΔABC và ΔBAD ta có:
AB cạnh chung
∠(BAC) = ∠(ABD) = 90o
AC = BD (vì ΔAMC = ΔDMB)
Suy ra: ΔABC = ΔBAD (c.g.c)
c. Ta có: ΔABC = ΔBAD ⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng)
Mặt khác: AM = 1/2 AD
Vậy AM = 1/2 BC.
Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC.
Chứng minh rằng \(\widehat{BAC}=90^0\)
Ta có: ΔMAB cân tại M
nên \(\widehat{MAB}=\widehat{B}\)
Ta có: ΔMAC cân tại M
nên \(\widehat{MAC}=\widehat{C}\)
Xét ΔABC có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)
\(\Leftrightarrow2\cdot\left(\widehat{MAB}+\widehat{MAC}\right)=180^0\)
hay \(\widehat{BAC}=90^0\)
Cho tam giác ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EM. Gọi O là trung điểm đoạn thẳng DE. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC là :
(A) điểm D (B) điểm E
(C) điểm O (D) cả (A), (B), (C) đều sai
Hãy chọn phương án đúng ?
D
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Gọi G là điểm nằm giữa A và D sao cho \(\dfrac{AG}{AD}=\dfrac{2}{3}\). Tia BG cắt AC tại E, tia CG cắt AB tại F. Khẳng định nào sau đây sai ?
(A) \(\dfrac{BG}{EG}=2\) (B) \(\dfrac{FG}{CG}=\dfrac{2}{3}\)
(C) E là trung điểm của cạnh AC (D) F là trung điểm của cạnh AB
Chọn B
Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BD. Các đoạn thẳng CE và CF lần lượt cắt đoạn thẳng AB và I, J. Chứng minh rằng :
AI = IJ = JB
Gọi O là giao điểm của AB và CD
=>O là trung điểm chng của AB và CD
Xét ΔACD có
AO là đường trung tuyến
CE là đường trung tuyến
AO cắt CE tại I
Do đó: I là trọng tâm
=>AI=2/3AO=1/3AB(1)
Xét ΔCBD có
BO là đường trung tuyến
CF là đường trung tuyến
BO cắt CF tại J
Do đó; J là trọng tâm
=>BJ=2/3BO=1/3BA(2)
Từ (1) và (2) suy ra AI=BJ=1/3AB=JI
a/Ta có: ΔABC cân ở A(gt)
mà AM là đường trung tuyến, nên AM cũng là đường cao
Vậy AM ⊥ BC
b/ Vì M là trung điểm của BC
nên BM=BC:2=32:2=16 (cm)
Xét ΔABM vuông tại M có:
AB2=AM2+BM2 (Định lý Py-ta-go)
nên 342=AM2+162
1156=AM2+256
AM2=1156-256
AM2=900
Vậy AM=30 (cm)