Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A. Quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB, ta thu được một hình nón. Tính diện tích toàn phần của hình nón thu được biết rằng AC =a; góc ACB=60°:
A. √3πa^2
B. πa^2
C. 2√3πa^2
D. 2πa^2
Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A. Quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB, ta thu được một hình nón. Tính diện tích toàn phần của hình nón thu được biết rằng AC =a; góc ACB=60°:
A. √3πa^2
B. πa^2
C. 2√3πa^2
D. 2πa^2
Lời giải:
Quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AB$ , ta thu được hình nón có độ dài bán kính đáy là $AC$, đường sinh là $BC$
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có:
\(\cos \angle ACB=\frac{AC}{BC}=\cos 60=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow BC=2AC=2a\)
Diện tích xung quanh của hình nón là:
\(S_{xq}=\pi rl =\pi . AC. BC=2\pi a^2\)
Diện tích đáy: \(S_{đ}=\pi r^2=\pi a^2\)
Do đó diện tích toàn phần của hình nón là:
\(S_{tp}=S_{xq}+S_{đ}=3\pi a^2\)
Cho hình chóp đều ABCD có cạnh =a và cạnh bên =2a. Tính đường sinh của hình nón có đỉnh A và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD:
A. 2a
B. √33 a/3
C. √11 a/3
D. 4a
Vì $ABCD$ là hình chóp đều nên chân đường cao $H$ hạ từ $A$ xuống mặt phẳng $(BCD)$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$
Hiển nhiên chiều cao $AH$ cũng chính là chiều cao của hình nón được tạo ra.
Theo định lý Pitago:
Cạnh bên \(AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{h^2+r^2}\)
Theo tính chất hình nón: \(l=\sqrt{r^2+h^2}\)
Do đó: \(l=AB=2a\)
Đáp án A
Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy bằng a và chiều cao a√3 là:
A. 2√3πa^2
B.πa^2
C.√2πa^2
D.√3πa^2
Lời giải:
Áp dụng định lý pitago thì độ dài đường sinh của hình nón là:
\(l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a\)
Do đó diện tích xung quanh của hình nón là:
\(S_{xq}=\pi rl =\pi. a.2a=2\pi a^2\)
cho khối nón có thể tích 96pi. biết tỉ số l/h=4/5. tính Sxq của hình nón. giúp mình với ạ
Lời giải:
Có lẽ bạn nhầm đề. Đường sinh thì luôn lớn hơn chiều cao cho nên \(\frac{l}{h}=\frac{5}{4}\)
Đối với hình nón, ta luôn có:
\(l^2=h^2+r^2\) (theo định lý Pitago) (1)
Theo giả thiết \(\frac{l}{h}=\frac{5}{4}\Rightarrow l=1,25h\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(1,25^2h^2=h^2+r^2\Leftrightarrow \frac{9}{16}h^2=r^2\Leftrightarrow h=\frac{4}{3}r\)
Thể tích của hình nón là:
\(V=\frac{1}{3}\pi r^2h=96\pi\Leftrightarrow \frac{1}{3}\pi r^2.\frac{4}{3}r=96\pi \)
\(\Rightarrow r=6\)
\(\Rightarrow h=\frac{4}{3}r=8\Rightarrow l=10\)
Diện tích xung quanh của hình chóp là:
\(S_{xq}=\pi rl=60\pi \)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2AD=2a. SA vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SB với đáy là 45• . Bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo đường tròn có bán kính bằng a là?
kẻ AO vuông góc với BD
ta có: ao vuông với bd
và bd vuông với sa
=> oas vuông với bd
kẻ AH vuông góc với so
=> khi đó AH sẽ là khoảng cách từ A => SBD
AO=\(\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)
SA=a
=> AH=\(\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\)
gọi m là giao điểm của đường tròn với mp SBD
ta có AM =R
AM= pi ta go tự tính
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và SA= a. Bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo đường tròn có bán kính bằng a là?
cho hinh chóp đều S.ABCD cạnh đáy 2a và d(SA,CD)=a\(\sqrt{3}\) tính r mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Lời giải:
Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO$ (với $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ ) là đường cao của hình chóp.
Kẻ \(OH\perp AB; OK\perp SH\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} OH\perp AB\\ SO\perp AB\end{matrix}\right.\Rightarrow (SOH)\perp AB\Rightarrow OK\perp AB\)
\(\left\{\begin{matrix} OK\perp AB\\ OK\perp SH\end{matrix}\right.\Rightarrow OK\perp (AB,SH)=(SAB)\)
\(\Rightarrow d(O,(SAB))=OK\).
Có: \(\frac{1}{OK^2}=\frac{1}{SO^2}+\frac{1}{OH^2}\Rightarrow OK=\sqrt{\frac{OH^2.SO^2}{OH^2+SO^2}}=\sqrt{\frac{SO^2.a^2}{SO^2+a^2}}\)
\(d(CD, SA)=d(CD,(SAB))=d(C, (SAB))=2d(O,(SAB))=2OK\)
\(\Leftrightarrow d(CD,SA)=2\sqrt{\frac{SO^2.a^2}{SO^2+a^2}}=a\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow SO=a\sqrt{3}\)
Trên trục \(SO\) lấy $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Ta có: \(R^2=IS^2=IB^2\)
\(\Leftrightarrow (\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OS})^2=(\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OB})^2\)
\(\Leftrightarrow IO^2+OS^2+2\overrightarrow{IO}.\overrightarrow{OS}=IO^2+OB^2+2\overrightarrow{IO}.\overrightarrow{OB}=IO^2+OB^2\)
(do \(IO\perp OB\) )
\(\Leftrightarrow OS^2+2\overrightarrow {IO}.\overrightarrow{OS}=OB^2\)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{IO}.\overrightarrow{OS}=(\sqrt{2}a)^2-(\sqrt{3}a)^2=-a^2\)
Vì \(IO\parallel OS\Rightarrow \overrightarrow{IO}=k\overrightarrow{OS}\) \(\Rightarrow 2k.OS^2=-a^2\Rightarrow k=\frac{-1}{6}\)
\(\Rightarrow IS=SO-OI=SO-\frac{1}{6}SO=\frac{5}{6}SO=\frac{5\sqrt{3}}{6}a\)
hay \(R=\frac{5\sqrt{3}a}{6}\)
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA=2a và vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB và AK vuông góc với SD. Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại E. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK.
Một hình trụ có diện tích xung quang bằng 4, diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu bán kính bằng 1. Tính thể tích của khối trụ đó
Cho hình trụ có đường kính đáy là a, mặt phẳng qua trục của hình trụ cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích là 3a2. Tính diện tích toàn phần của hình trụ
Lời giải:
Đường kính đáy bằng $a$ \(\Rightarrow R=\frac{a}{2}\)
Mặt phẳng qua trục của hình trụ sẽ cắt hình trụ theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài một cạnh chính bằng đường kính đáy (a) và cạnh còn lại bằng chiều cao hình trụ. Theo giả thiết ta có:
\(h=\frac{3a^2}{a}=3a\)
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
\(S_{tp}=S_{xq}+S_{\text{ 2 đáy}}=2\pi Rh+2\pi R^2\)
\(=3a^2\pi +2(\frac{a}{2})^2\pi =\frac{7}{2}a^2\pi\) (đơn vị diện tích)