Bài 1:

a) Om là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{xOm}=\widehat{mOy}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOy}=\dfrac{1}{2}.60^o=30^o.\)

Ta có: \(\widehat{xOz}=\widehat{xOy}+\widehat{yOz}=180^o.\)

Mà \(\widehat{xOy}=60^o\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{yOz}=120^o.\)

On là tia phân giác của \(\widehat{yOz}\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{zOn}=\widehat{nOy}=\dfrac{1}{2}\widehat{zOy}=\dfrac{1}{2}.120^o=60^o.\)

Mà: \(\widehat{xOm}=30^o\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{xOm}< \widehat{zOn}.\)

b) Ta có: \(\widehat{mOn}=\widehat{nOy}+\widehat{mOy}=60^o+30^o=90^o.\)

a) Xét \(\Delta ABC\) cân tại A:

AM là trung tuyến (gt).

 AM là đường cao.

Ta có: AM là trung tuyến  (gt).

 M là trung điểm BC.

\(\Rightarrow BM=CM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.2b=b\left(cm\right).\)

Xét  vuông tại M:

b) Xét  vuông tại E và  vuông tại F:

 cân tại A).

BM = CM (cmt).

\(\Rightarrow\Delta EBM=\Delta FCM\) (cạnh huyền - góc nhọn).

\(\Rightarrow EM=FM.\)

\(\Rightarrow\Delta MEF\) cân tại M.

\(G=1-\sqrt{x}-\dfrac{\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}}\left(x>0\right).\)

\(G=\dfrac{\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}}=\dfrac{-2x}{\sqrt{x}}=-2\sqrt{x}.\)

\(G+x-8=0.\\ \Rightarrow-2\sqrt{x}+x-8=0.\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}+2\right)=0.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=4.\\\sqrt{x}=-2\left(vôlý\right).\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=16.\)

\(\dfrac{17}{12}+\dfrac{-1}{6}.\\ =\dfrac{17}{12}-\dfrac{1}{6}.\\ =\dfrac{5}{4}.\\ \left(\dfrac{3}{8}+\dfrac{-3}{4}+\dfrac{7}{12}\right):\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}.\\ =\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{12}\right):\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}.\\ =\dfrac{5}{24}:\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}.\\ =\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}.\\ =\dfrac{3}{4}.\)

\(19,5-x\times6,3=17,625.\\ x\times6,3=1,875.\\ x=\dfrac{25}{84}.\)

\(a,\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)-x\left(x^2+2\right)=0.\\ \Leftrightarrow x^3+8-x^3-2x=0.\\ \Leftrightarrow-2x+8=0.\\ \Leftrightarrow x=4.\)

\(c,\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-x\left(x+2\right)\left(x-2\right)=5.\\ \Leftrightarrow x^3-1-x\left(x^2-4\right)=5.\\ \Leftrightarrow x^3-1-x^3+4x-5=0.\\ \Leftrightarrow4x-6=0.\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}.\)

a) Xét \(\Delta ABC\) cân tại A:

\(\widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}.\left(1\right)\)

Xét \(\Delta AMN:AM=AN\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A.

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ANM}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}.\left(2\right)\)

Từ (1); (2) \(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{AMN}=\widehat{ANM}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}.\)

Ta có: \(\widehat{B}=\widehat{AMN}.\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.

\(\Rightarrow MN//BC\left(dhnb\right).\)

Xét tứ giác BNMC:

\(MN//BC\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác BNMC là hình thang (dhnb).

b) Ta có: 

\(\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{AMN}=\widehat{ANM}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(cmt\right).\)

Mà \(\widehat{A}=40^o\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{AMN}=\widehat{ANM}=\dfrac{180^o-40^o}{2}=70^o.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}+\widehat{BMN}=180^o.\\\widehat{C}+\widehat{CNM}=180^o.\end{matrix}\right.\) (MN // BC).

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BMN}=110^o.\\\widehat{CNM}=110^o.\end{matrix}\right.\)

a) Xét \(\Delta ABC\) cân tại A:

AM là trung tuyến (gt).

\(\Rightarrow\) AM là đường cao.

\(\Rightarrow AM\perp BC.\)

Ta có: AM là trung tuyến \(\Delta ABC\) (gt).

\(\Rightarrow\) M là trung điểm BC.

\(\Rightarrow BM=CM=\dfrac{1}{2}BC.\\ \Rightarrow BM=CM=\dfrac{1}{2}.2b=b\left(cm\right).\)

Xét \(\Delta ABM\) vuông tại M:

\(AB^2=AM^2+BM^2\left(Pytago\right).\\ \Rightarrow a^2=AM^2+b^2.\\ \Leftrightarrow AM^2=a^2-b^2.\\ \Rightarrow AM=\sqrt{a^2-b^2}.\)

b) Xét \(\Delta EBM\) vuông tại E và \(\Delta FCM\) vuông tại F:

\(\widehat{B}=\widehat{C}(\Delta ABC\) cân tại A).

BM = CM (cmt).

\(\Rightarrow\Delta EBM=\Delta FCM\) (cạnh huyền - góc nhọn).

\(\Rightarrow EM=FM. \)

\(\Rightarrow\Delta MEF\) cân tại M.

\(a,\left(2x-y\right)^2-\left(2x+y\right)^2.\\ =\left(2x-y+2x+y\right)\left(2x-y-2x-y\right).\\ =4x.\left(-2y\right).\\ =-8xy.\)

\(c,4\left(x+1\right)^2-\left(2x+1\right)^2.\\ =4\left(x^2+2x+1\right)-\left(4x^2+4x+1\right).\\ =4x^2+8x+4-4x^2-4x-1.\\ =4x+3.\)

a) Ta có:

\(AC=AD+CD.\\ \Rightarrow12=AD+3.\\ \Rightarrow AD=9\left(cm\right).\)

Xét \(\Delta ABC:DE//BC\left(gt\right). \)

\(\Rightarrow\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}.\) (Hệ quả định lí Ta-lét).

\(\Rightarrow\dfrac{DE}{20}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{12}{AB}.\)

\(\Rightarrow DE=15\left(cm\right);AB=16\left(cm\right).\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ACB:\)

\(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\left(cmt\right).\\ \widehat{A}chung.\\ \Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta ACB\left(c-g-c\right).\)