\(n\left(\Omega\right)=C_{12}^2=66.\)

Số cách lấy tạp chí ẩm thực: \(n\left(A\right)=C_5^2=10\).

Xác suất: \(P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{10}{66}=\dfrac{5}{33}\).

Nếu xem \(bc\) của bạn là \(\overline{bc}\) thì

\(S=a+b+c=5+3+3=11.\)

Còn nếu \(bc\) của bạn là \(b\cdot c\) thì \(bc=33=11\cdot3\)

\(\Rightarrow S=a+b+c=5+11+3=19.\)

Lấy mốc thế năng tại VTCB. Gọi \(\alpha\) là góc hợp bởi dây và phương thẳng đứng.

(a) Bảo toàn cơ năng cho vật: \(mgl\left(1-cos\alpha\right)=\dfrac{1}{2}mv^2\)

\(\Rightarrow v=\sqrt{2gl\left(1-cos\alpha\right)}=\sqrt{2\cdot10\cdot1\left(1-cos60^o\right)}=\sqrt{10}\left(ms^{-1}\right)\)

(b) Bảo toàn cơ năng cho vật: \(mgl\left(1-cos\alpha\right)=\dfrac{1}{2}mv^2+mgl\left(1-cos\beta\right)\)

\(\Rightarrow v^2=2gl\left(cos\beta-cos\alpha\right)\)

Định luật II Newton cho vật tại vị trí góc \(\beta:\)

\(\overrightarrow{T}+\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{a}\).

Chiếu lên phương hướng tâm: \(T-mgcos\beta=\dfrac{mv^2}{l}\)

\(\Rightarrow T=m\left(\dfrac{v^2}{l}+gcos\beta\right)=mg\left(3cos\beta-2cos\alpha\right)\)

\(\Rightarrow T=0,2\cdot10\left(3cos30^o-2cos60^o\right)\approx3,2\left(N\right)\)

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2=mx-2m+4\Leftrightarrow x^2-mx+2m-4=0\)

\(\left(d\right),\left(P\right)\) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt, tức là:

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\left(2m-4\right)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-8m+16>0\Leftrightarrow\left(m-4\right)^2>0\Leftrightarrow m\ne4.\)

Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-4\end{matrix}\right.\).

Theo đề: \(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(\Rightarrow A=m^2-2\left(2m-4\right)=m^2-4m+8\)

\(\Rightarrow A=\left(m-2\right)^2+4\ge4\)

.Vậy: \(A_{min}=4\Leftrightarrow m=2\) (thỏa mãn).

Giả sử hai người gặp nhau tại \(C.\)

(a) Quãng đường người em đi: \(AC=v_1t\), người anh đi: \(BC=v_2t\).

Ta sẽ có: \(AC=AB+BC\Leftrightarrow v_1t=AB+v_2t\)

\(\Rightarrow t=\dfrac{AB}{v_1-v_2}=\dfrac{45}{25-10}=3\left(h\right)\).

Vậy: Hai người gặp nhau sau \(3h\) xuất phát.

(b) Giả sử lúc hai người cách nhau \(10km\), người em ở \(D\) và người anh ở \(E.\)

Quãng đường người em đi: \(AD=v_1t\), người anh đi: \(BE=v_2t\).

Trường hợp 1: Hai người chưa gặp nhau.

Ta sẽ có: \(DE=\left(AB+BE\right)-AD=\left(AB+v_2t\right)-v_1t\)

\(\Rightarrow t=\dfrac{DE-AB}{v_2-v_1}=\dfrac{45-10}{25-10}=\dfrac{7}{3}\left(h\right)\)

Trường hợp 2: Hai người đã gặp nhau.

Ta sẽ có: \(DE=AD-\left(AB+BE\right)=v_1t-\left(AB+v_2t\right)\)

\(\Rightarrow t=\dfrac{DE+AB}{v_1-v_2}=\dfrac{10+45}{25-10}=\dfrac{11}{3}\left(h\right)\)

Cứ sau tích của 5 số thì chữ số 2 ở cuối được lặp lại, tức là \(2\times2\times2\times2\times2=\overline{...2}\).

Tích trên có \(2022=5\times404+2\), do đó, chữ số tận cùng của tích trên là \(2\times2\times2=8\).

2. Phương trình có nghiệm khi: \(\Delta=\left(-m\right)^2-4\cdot1\left(m-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4\ge0\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng).

Do đó, phương trình có nghiệm với mọi \(m.\)

Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{matrix}\right.\)

Theo đề: \(B=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(x_1x_2+1\right)}\)

\(=\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\).

Suy ra: \(Bm^2-2m+2B-1=0\left(1\right)\)

Phương trình \(\left(1\right)\) có nghiệm khi: \(\Delta'=\left(-1\right)^2-B\left(2B-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-2B^2+B+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(B-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{9}{8}\ge0\Leftrightarrow\left(B-\dfrac{1}{4}\right)^2\le\dfrac{9}{16}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{3}{4}\le B-\dfrac{1}{4}\le\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}\le B\le1\).

Suy ra \(B_{max}=1\Leftrightarrow m=-\dfrac{b'}{a}=-\dfrac{-1}{B_{max}}=1\).

Vậy: \(B_{max}=1\Leftrightarrow m=1.\)

Gọi \(x\left(km\right)\) là khoảng cách \(AB\left(x>0\right).\)

Thời gian máy bay đi (không kể thời gian nghỉ:

\(13h45m-6h30m-30m=6h45m=6,75\left(h\right)\)

Thời gian đi: \(\dfrac{x}{500}\), thời gian về là: \(\dfrac{x}{500-100}=\dfrac{x}{400}\).

Từ đó, ta có phương trình: \(\dfrac{x}{500}+\dfrac{x}{400}=6,75\Leftrightarrow x=1500\left(km\right)\) (thỏa mãn).

Vậy: Khoảng cách từ A đến B là \(1500km.\)

\(\sqrt{3+\sqrt{x}}=2\left(x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow3+\sqrt{x}=4\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Rightarrow x=1\left(N\right)\).

Vậy: \(x=1.\)

Cho quả cầu đặc, dẫn điện \(A\) và hai vỏ cầu dẫn điện \(B,D\) đặt đồng tâm với nhau. Vỏ cầu \(B\) nối với đất và đặt giữa \(A,D\). Quả cầu \(A\) mang điện tích \(+Q\), vỏ cầu \(D\) mang điện tích \(-Q.\) Biết bán kính của quả cầu \(A\), các vỏ cầu \(B,D\) lần lượt là \(a,b,d.\)

1. Tính điện tích các mặt trong, ngoài của \(D.\)

2. Tính hiệu điện thế giữa \(A\) và \(D\).

3. Tính hiệu điện thế giữa \(A\) và đất.

D