a) \(x^2+2\left(m+1\right)x+m^2+2=0\left(1\right)\)

Để \(\left(1\right)\) có \(2\) nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2-2>0\)

\(\Leftrightarrow2m-1>0\)

\(\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{2}\)

b) Theo đề bài ta có : \(x_1=3x_2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4x_2=-2\left(m+1\right)\left(2\right)\\x_1.x_2=3x_2^2=m^2+2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Rightarrow x_2=-\dfrac{m+1}{2}\)

\(\left(3\right)\Rightarrow3.\left(-\dfrac{m+1}{2}\right)^2=m^2+2\)

\(\Leftrightarrow3.\dfrac{\left(m^2+2m+1\right)}{4}=m^2+2\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=5\end{matrix}\right.\) thỏa mãn \(m>\dfrac{1}{2}\)

Vậy với \(m\in\left\{1;5\right\}\) thỏa mãn đề bài

\(x^2-2x-m+2=0\left(1\right)\)

Để \(\left(1\right)\) có \(2\) nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow\Delta'=1+m-2>0\)

\(\Leftrightarrow m>1\)

Ta lại có \(\left|x_1-x_2\right|=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-4=0\)

\(\Leftrightarrow4+4\left(m-2\right)-4=0\)

\(\Leftrightarrow4m-8=0\)

\(\Leftrightarrow m=2\) thỏa \(m>1\)

Vậy với \(m=2\) thỏa mãn đề bài

a) \(\Delta=\left(m+2\right)^2+12>0,\forall m\in R\)

\(\Rightarrow\) Phương trình cho luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2,\forall m\in R\) \(\left(đpcm\right)\)

b) Để phương trình cho có 2 nghiệm nguyên khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=m+2\in Z\\P=x_1x_2=-3\in Z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x_1;x_2\right)\in\left\{\left(-1;3\right);\left(1;-3\right);\left(-3;1\right);\left(3;-1\right)\right\}\)

Thay các giá trị \(x_1;x_2\) vào \(m+2\in Z\) ta được \(m=0;m=-4\)

Vậy với \(m=0\cup m=-4\) thỏa mãn đề bài

a) \(\Delta'=m^2-m+2=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0,\forall m\in R\)

\(\Rightarrow\) Phương trình cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) \(\left(1+x_1\right)\left(2-x_2\right)+\left(1+x_2\right)\left(2-x_1\right)=x_1^2+x_2^2+2\)

\(\Leftrightarrow4+2\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2\left(x_1+x_2\right)-2=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m-2=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-2m-1=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{1\pm\sqrt{3}}{2}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài

A.Đ

B.S

C.S

D.Đ

Ta có \(O\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}\left(1\right)\)

\(\Delta ABC\) đều, có điểm \(M\) nằm trong tam giác và \(D,E,F\) là hình chiếu lần lượt xuống \(3\) cạnh

\(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\right)\left(2\right)\) (Tự chứng minh tính chất đặc biệt này của tam giác đều)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\right)=3\overrightarrow{MO}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MO}\left(đpcm\right)\)

Gốc tọa độ tại O, chiều dương ngược với chiều chuyển động, gốc thời gian là lúc \(6h\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_o=0\left(km\right)\\t_o=0\left(h\right)\\v=-50\left(km/h\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình chuyển động của ô tô là :

\(x=x_o+v\left(t-t_o\right)=-50t\left(km\right)\)

a) \(A=2-\dfrac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}-3}=\dfrac{4\sqrt{x}-6-\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}-3}=\dfrac{3\sqrt{x}-5}{2\sqrt{x}-3}\)

\(...B=\dfrac{6\sqrt{x}+1+\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(2\sqrt{x}-3\right)}==\dfrac{2x+3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(2\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(2\sqrt{x}-3\right)}=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}-3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{A}{B}=\dfrac{3\sqrt{x}-5}{2\sqrt{x}-3}.\dfrac{2\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}+1}=\dfrac{3\sqrt{x}-5}{2\sqrt{x}+1}\)

b) \(...\dfrac{A}{B}==\dfrac{3}{2}.\dfrac{\sqrt{x}-\dfrac{5}{3}}{\sqrt{x}+\dfrac{1}{2}}\)

Ta lại có \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}-\dfrac{5}{3}< \sqrt{x}+\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x}-\dfrac{5}{3}}{\sqrt{x}+\dfrac{1}{2}}< 1\)

\(\Rightarrow\dfrac{A}{B}< \dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

a) \(2\left(x+y\right)=120\Rightarrow x+y=60\left(1\right)\Rightarrow\) Sai

b) \(\left(x+5,5\right)\left(y+3,2\right)\left(m^2\right)\Rightarrow\) Đúng

c) \(\left(x+5,5\right)\left(y+3,2\right)-xy=244,1\Leftrightarrow3,2x+5,5y=226,5\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=45\\y=15\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) Đúng

d) Diện tích khu vườn lúc sau :

\(\left(45+5,5\right).\left(15+3,2\right)=50,5.18,2=918,1\left(m^2\right)\Rightarrow\) Sai

Câu 14.D

Câu 15.C