a) Đồ thị có hình dáng đặc trưng của hàm bậc ba (hình chữ "\(S\)" uốn lượn); Nhánh cuối của đồ thị hướng lên trên \(\Rightarrow a>0;\) Giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\) là điểm \(\left(0;-2\right)\)

\(\Rightarrow H1:Đúng\)

b) Đồ thị có hai nhánh, một ở phía trên và một ở phía dưới, thể hiện tính chất của hàm số hữu tỉ.;có tiệm cận ngang \(y=\dfrac{a}{c}=1\left(a=c\right)\) và tiệm cận đứng \(x=-\dfrac{d}{c}\); vì \(ad-bc>0\Rightarrow\) hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó và đi lên từ trái sang phải (góc phần tư I và III)

\(\Rightarrow H2:Đúng\)

c) Bảng biến thiên cho thấy tại \(x=4\), hàm số đạt cực tiểu \(y=6\), Hàm phân thức bậc \(2\) trên bậc nhất có thể có cực trị và bảng biến thiên phù hợp với dạng đồ thị của hàm số này.

\(\Rightarrow H3:Đúng\)

Bổ sung độ dài \(MN\)

Gọi \(P\) là trung điểm \(BD\)

Ta có \(MP//CD;NP//AB\) (đường trung bình)

\(\Rightarrow\left(\widehat{AB;CD}\right)=\left(\widehat{MP;NP}\right)\)

mà \(MP=NP=a\) (đường trung bình)

\(cos\widehat{MPN}=\dfrac{MP^2+NP^2-MN^2}{2.MP.NP}=...\)

\(\Rightarrow\widehat{MPN}=...\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{AB;CD}\right)=\left(\widehat{MP;NP}\right)=180^o-\widehat{MPN}=...\) (Nếu \(\widehat{MPN>90^o}\))

\(-x^2+5x-4\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\le1\cup x\ge4\)

Để tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x=0;x=2\), ta sử dụng phương pháp tích phân. Theo đề bài, khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\left(y=0\right)\) tại điểm có hoành độ \(x\left(0\le x\le2\right)\), tiết diện thu được là một hình chữ nhật có hai cạnh là \(2x\) và \(\sqrt{4-x^2}\)

Diện tích của tiết diện tại mỗi điểm \(x\) là:

\(A\left(x\right)=2x.\sqrt{4-x^2}\)

Thể tích \(V\) của vật thể được tính bằng tích phân của diện tích tiết diện từ \(x=0;x=2:\)

\(V=\int\limits^2_0A\left(x\right)dx=\int\limits^2_02x\sqrt{4-x^2}dx\)

Đặt \(u=4-x^2\Rightarrow du=-2xdx\Rightarrow xdx=-\dfrac{du}{2}\)

\(\Rightarrow V=2\int\limits^0_4\left(-\sqrt{u}.\dfrac{1}{2}\right)du=\int\limits^4_0\sqrt{u}du\)

\(\Rightarrow V=\left[\dfrac{2}{3}u^{\dfrac{3}{2}}\right]^4_0=\dfrac{2}{3}.\left[4^{\dfrac{3}{2}}-0\right]=\dfrac{2}{3}.8=\dfrac{16}{3}\left(đvtt\right)\)

Sửa lại \(u=64-x^2\)

Để tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x=0;x=8\), ta sử dụng phương pháp tích phân. Theo đề bài, khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\left(y=0\right)\) tại điểm có hoành độ \(x\)  \(\left(0\le x\le8\right)\), tiết diện thu được là một hình chữ nhật có hai cạnh là \(7x\) và \(\sqrt{64-x^2}\)

Diện tích của tiết diện tại mỗi điểm \(x\) là:

\(A\left(x\right)=7x.\sqrt{64-x^2}\)

Thể tích \(V\) của vật thể được tính bằng tích phân của diện tích tiết diện từ \(x=0;x=8:\)

\(V=\int\limits^8_0A\left(x\right)dx=\int\limits^8_0\left(7x.\sqrt{64-x^2}\right)dx\)

Đặt \(u=\sqrt{64-x^2}\Rightarrow du=-2xdx\Rightarrow xdx=-\dfrac{du}{2}\)

\(\Rightarrow V=7\int\limits^0_{64}\left(-\sqrt{u}.\dfrac{1}{2}\right)du=\dfrac{7}{2}\int\limits^{64}_0\sqrt{u}du\)\(\Rightarrow V=\dfrac{7}{2}\left[\dfrac{2}{3}u^{\dfrac{3}{2}}\right]^{64}_0=\dfrac{7}{2}.\dfrac{2}{3}\left[64^{\dfrac{3}{2}}-0\right]=\dfrac{7}{3}.512=\dfrac{3584}{3}\left(đvtt\right)\)

a) Vẽ đồ thị \(\left(P\right):y=x^2;\left(d\right):y=2x-3\)

b) Từ đồ thị ta được \(\left(P\right)\cap\left(d\right)=A\left(1;-1\right);B\left(0;-3\right)\)

\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}.OB.h=\dfrac{1}{2}.3.1=\dfrac{3}{2}=1,5\left(cm^2\right)\)

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y=2x-5;y=0;x=0;x=2\)

Vì \(2x-5< 0;x\in\left[0;2\right]\)

\(\Rightarrow S=\int\limits^2_0\left(5-2x\right)dx\)

\(\Rightarrow S=\left[5x-x^2\right]^2_0=\left(10-4\right)-\left(0-0\right)=6\left(đvdt\right)\)

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y=-x-4;Ox\left(y=0;x=-1;x=-9\right)\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}-x-4>0;x\in[-9;-4)\\-x-4< 0;x\in(-4;-1]\end{matrix}\right.\)

\(S=\int\limits^{-1}_{-9}\left|-x-4-0\right|dx=\int\limits^{-4}_{-9}\left(-x-4\right)dx+\int\limits^{-1}_{-4}\left(x+4\right)dx\)

\(\Rightarrow S=\left[-\dfrac{x^2}{2}-4x\right]^{-4}_{-9}+\left[\dfrac{x^2}{2}+4x\right]^{-1}_{-4}\)

\(\Rightarrow S=\left(-\dfrac{16}{2}+16\right)-\left(-\dfrac{81}{2}+36\right)+\left(\dfrac{1}{2}-4\right)-\left(\dfrac{16}{2}-16\right)=17\left(đvdt\right)\)

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y=e^x;y=0;x=-1;x=1\)

\(S=\int\limits^1_{-1}\left(e^x-0\right)dx\)

\(\Rightarrow S=\left[e^x\right]^1_{-1}=e-\dfrac{1}{e}\left(đvdt\right)\)

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y=-x^2-4;Ox\left(y=0\right);x=-5;x=2\)

\(S=\int\limits^2_{-5}dx\left|-x^2-4-0\right|dx=\int\limits^2_{-5}\left(x^2+4\right)dx\left(-x^2-4\le0;x\in\left[-5;2\right]\right)\)

\(\Rightarrow S=\left[\dfrac{x^3}{3}+4x\right]^2_{-5}=\left(\dfrac{8}{3}+8\right)-\left(\dfrac{125}{3}-20\right)=\dfrac{217}{3}\left(đvdt\right)\)

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y=\dfrac{4}{x};y=-x-3;x=1;x=2\)

Vì \(\dfrac{4}{x}+x+3>0;x\in\left[1;2\right]\)

\(\Rightarrow S=\int\limits^2_1\left(\dfrac{4}{x}+x+3\right)dx\)

\(\Rightarrow S=\left[4ln\left|x\right|+\dfrac{x^2}{2}+3x\right]^2_1\)

\(\Rightarrow S=\left(4ln2+2+6\right)-\left(4ln1+\dfrac{1}{2}+3\right)=4ln2+\dfrac{9}{2}\left(đvdt\right)\)

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y=\dfrac{1}{x};y=-x+2;x=1x=2\)

Vì \(-x+2>\dfrac{1}{x};x\in\left[1;2\right]\)

\(S=\int\limits^2_1\left(-x+2-\dfrac{1}{x}\right)dx\)

\(\Rightarrow S=\left[-\dfrac{x^2}{2}+2x-ln\left|x\right|\right]^2_1\)

\(\Rightarrow S=\left[-2+4-ln2\right]-\left[-\dfrac{1}{2}+2-ln1\right]=\dfrac{1}{2}-ln2\left(đvdt\right)\)