\(f\left(x\right)=ax^4+bx^2+c\left(a>0\right)\)

\(f'\left(x\right)=4ax^3+2bx=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2=-\dfrac{b}{2a}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow b< 0\left(a>0\right)\)

\(C\left(1;1\right)\) là \(1\) điểm cực trị \(\Rightarrow f'\left(1\right)=4a+2b=0\Leftrightarrow b=-2a\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=ax^4-2ax^2+c\)

\(C\left(1;1\right)\in f\left(x\right)\Leftrightarrow1=a-2a+c\Leftrightarrow c=a+1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=ax^4-2ax^2+a+1\)

\(f'\left(x\right)=4ax^3-4ax=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\pm1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(3\) điểm cực trị \(A\left(-1;1\right);B\left(0;a+1\right);C\left(1;1\right)\)

\(A\left(-1;1\right);B\left(0;a+1\right);C\left(1;1\right)\in g\left(x\right)=px^2+qx+r\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}g\left(0\right)=a+1\\g\left(1\right)=1\\g\left(-1\right)=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}r=a+1\\p+q=-a\\p-q=-a\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}r=a+1\\p=-a\\q=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow g\left(x\right)=-ax^2+a+1\)

Diện tích hình phẳng \(H\)giới hạn bởi \(f\left(x\right);g\left(x\right);\left(Oy\right):x=0;x=1\) là:

\(S=\int\limits^1_0\left|\left(ax^4-2ax^2+a+1\right)-\left(ax^2+a+1\right)\right|dx\)

\(\Rightarrow S=\int\limits^1_0\left|ax^4-ax^2\right|dx=a\int\limits^1_0\left(x^2-x^4\right)dx\left(a>0;0\le x\le1\right)\)

\(\Rightarrow S=a\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}\right]^1_0=\dfrac{2a}{15}=\dfrac{2}{5}\Rightarrow a=3\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=3x^4-6x^2+4;g\left(x\right)=-3x^2+4\)

Thể tích khối tròn xoay khi quay \(H\) quanh trục hoành là:

\(V=\pi\int\limits^1_0\left[g^2\left(x\right)-f^2\left(x\right)\right]dx\)

\(\Rightarrow V=\pi\int\limits^1_0\left[\left(-3x^2+4\right)^2-\left(3x^4-6x^2+4\right)^2\right]dx\)

\(\Rightarrow V=\pi\int\limits^1_0\left(-9x^8+36x^6-51x^4+24x^2\right)dx\)

\(\Rightarrow V=\pi\left[-x^9+\dfrac{36}{7}x^7-\dfrac{51}{5}x^5+8x^3\right]^1_0=\dfrac{68\pi}{35}\approx6,09\)

Giai đoạn \(1:0\le t\le2\left(Parabol\right);I\left(3;9\right)\)

\(v\left(t\right)=a\left(t-3\right)^2+9\)

Theo đồ thị ta có \(v\left(0\right)=0\Leftrightarrow0=a\left(0-3\right)^2+9\Leftrightarrow a=-1\)

\(\Rightarrow v\left(t\right)=-\left(t-3\right)^2+9=-t^2+6t\)

Giai đoạn \(2:2\le t\le6\left(đường.thẳng\right);HSG.a=\dfrac{1}{4}\)

\(v\left(t\right)=\dfrac{1}{4}t+b\left(d\right)\)

\(v\left(2\right)=8\Leftrightarrow8=\dfrac{1}{4}.2+b\Leftrightarrow b=\dfrac{15}{2}\)

\(\Rightarrow v\left(t\right)=\dfrac{1}{4}t+\dfrac{15}{2}\)

Quãng đường \(s\) mà vật di chuyển trong \(8\left(giờ\right)\)

\(s=\int\limits^2_0\left(-t^2+6t\right)dt+\int\limits^8_2\left(\dfrac{1}{4}t+\dfrac{15}{2}\right)dt\)

\(\Rightarrow s=\left[-\dfrac{t^3}{3}+3t^2\right]^2_0+\left[\dfrac{1}{8}t^2+\dfrac{15}{2}t\right]^8_2\)

\(\Rightarrow s=\left(-\dfrac{8}{3}+12\right)+\left[\dfrac{1}{8}\left(8^2-2^2\right)+\dfrac{15}{2}\left(8-2\right)\right]\)

\(\Rightarrow s=\dfrac{28}{3}+\dfrac{60}{8}+45=9,3+7,5+45=61,8\left(km\right)\)

Đài kiểm soát có tọa độ \(I\left(-64;128;64\right)\) và phạm vi radar là \(500\left(km\right)\)

\(\Rightarrow\) Phương trình mặt cầu biểu diễn vùng quét của radar là:

\(\left(C\right):\left(x+64\right)^2+\left(y-128\right)^2+\left(z-64\right)^2=500^2\)

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(P\)

\(d\left(I;\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|1.\left(-64\right)-2.128+2.64-1458\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+2^2}}=\dfrac{1650}{3}=550\left(km\right)>500\left(km\right)\)

\(\Rightarrow\left(P\right)\) nằm ngoài vùng quét radar

\(\Rightarrow MN\left(min\right)=d-R=550-500=50\left(km\right)\) khi đó \(N\in\left(C\right)\)

1) \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=t^3-3txy\RightarrowĐúng\)

2) \(x^3+y^3+\left(x+y\right)^3+30xy=2000\)

\(\Leftrightarrow t^3-3txy+t^3+30xy=2000\)

\(\Leftrightarrow3xy\left(10-t\right)=2000-2t^3\)

\(\Leftrightarrow xy=\dfrac{2}{3}\dfrac{\left(t^3-1000\right)}{10-t}=-\dfrac{2}{3}\left(t^2+10t+100\right)\Rightarrow Sai\)

3) \(...PT\Leftrightarrow x^3+y^3+30xy=2000-\left(x+y\right)^3=2000-t^3\)

Ta thấy khi \(t=10\Rightarrow xy=-\dfrac{2}{3}\left(100+100+100\right)=-200\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^3+30xy=10^3-3.10.\left(-200\right)+30.\left(-200\right)=1000\\2000-t^3=2000-10^3=1000\end{matrix}\right.\) (Thỏa)

mà \(1000=2^3.5^3\)

\(\Rightarrow\) Số ước của \(1000:\left(3+1\right)\left(3+1\right)=16\left(ước.số\right)\)

\(\RightarrowĐúng\)

\(\left(CH\right):2x+5y-10=0\Rightarrow\overrightarrow{n_1}=\left(2;5\right)\Rightarrow\overrightarrow{u_1}=\left(5;-2\right)\)

mà \(CH\perp AB\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{u_2\left(AB\right)}=\overrightarrow{u_1}=\left(5;-2\right)\)

\(\Rightarrow\left(AB\right):5\left(x-2\right)-2\left(y+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(AB\right):5x-2y-12=0\)

Câu 46 :

\(y=log_{\sqrt{7}}\left(x^2-2x-m+1\right)\) xác định \(\forall x\in R\) khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow x^2-2x-m+1>0;\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=1+m-1< 0\left(a=1>0\right)\)

\(\Leftrightarrow m< 0\)

mà \(m\in\left(-2024;2024\right);m\in Z\)

\(\Rightarrow m\in\left\{-2023;-2022;...;-1\right\}\)

\(\Rightarrow\) Số giá trị nguyên của \(m\) là : \(\left(2023-1\right)+1=2023\)

Câu 47 :

Công thức lãi kép: \(A=P\left(1+r\right)^n\)

\(A\) là số tiền cả gốc và lãi sau \(n\) năm

\(P=100\left(triệu.đồng\right)\) là số tiền gốc ban đầu

\(r=6\%=0,06\) là lãi suất hàng năm

\(n\) là số năm gửi tiền

Theo đề bài ta có :

\(A>130\Leftrightarrow100\left(1+0,06\right)^n>130\)

\(\Leftrightarrow\left(1,06\right)^n>1,3\)

\(\Leftrightarrow log\left(1,06\right)^n>log\left(1,3\right)\)

\(\Leftrightarrow n.log\left(1,06\right)>log\left(1,3\right)\)

\(\Leftrightarrow n>\dfrac{log\left(1,3\right)}{log\left(1,06\right)}\approx4,5\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow n=5\) hay người đó phải gửi ít nhất là \(5\) năm để có số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn \(130\) triệu đồng

a) Hình chiếu của \(SB\) lên \(\left(ABC\right)\) là \(BC\left(SC\perp\left(ABC\right)\right)\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{SB;\left(ABC\right)}\right)=\widehat{SBC}\Rightarrow Sai\)

b) \(CM\) là trung tuyến \(\Delta ABC\) (\(M\) là trung điểm \(AB\))

mà \(\Delta ABC\) là tam giác đều (gt)

\(\Rightarrow CM\) là đường cao \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow CM\perp AB\)

mà \(SC\perp AB\left(SC\perp\left(ABC\right)\right)\)

\(\Rightarrow AB\perp\left(SMC\right)\)

mà \(AB\subset\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow\left(SAB\right)\perp\left(SMC\right)\RightarrowĐúng\)

c) \(\left\{{}\begin{matrix}SC\perp\left(ABC\right)\\SC\subset\left(SAC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(ABC\right)\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{\left(SAC\right);\left(ABC\right)}\right)=90^o\RightarrowĐúng\)

d) Giả sử \(SB\perp AC\) ta cần \(AC\perp\left(SBC\right)\) và \(AC\perp BC\) mà \(AC\) không vuông góc với \(BC\) vì \(\Delta ABC\) đều

\(\Rightarrow SB\) không vuông góc \(AC\Rightarrow Sai\)

b) \(\left(a-3\right)^2+\left(3b+1\right)^2\le0\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-3\right)^2\ge0;\forall a\in R\\\left(3b+1\right)^2\ge0;\forall b\in R\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-3=0\\3b+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=28a^2b-9ab^2=28.3^2.\left(-\dfrac{1}{3}\right)-9.3.\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2=-84-3=-87\)

a) \(...F\left(x\right)=-5x^3+6x^2+3x-1\)

\(...G\left(x\right)=-5x^3+6x^2+4x+2\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)-G\left(x\right)=-x-3\)

b) \(N\left(x\right)+F\left(x\right)=-G\left(x\right)\)

\(\Rightarrow N\left(x\right)=-F\left(x\right)-G\left(x\right)\)

\(\Rightarrow N\left(x\right)=-\left[F\left(x\right)+G\left(x\right)\right]\)

\(\Rightarrow N\left(x\right)=-\left(-10x^3+12x^2+7x+1\right)=10x^3-12x^2-7x-1\)