Cho tam giác ABC đều, gọi M là trung điểm BC. Lấy P trên cạnh AB và Q trên cạnh A sao cho góc PMQ = 60độ . Chứng minh:

a) Tam giác PBM và MCQ đồng dạng

b) Tam giác MBP và QMP đồng dạng

c) Chứng minh MP là phân giác của góc BPQ và \(\frac{S_{MPQ}}{S_{ABC}}=\frac{PQ}{2BC}\)

Cho tam giác nhọn ABC. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) AB.AE = AC.AD

b) BC² = CE.CH + BD.BH

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Kẻ BH vuông góc với CM, nối DH. Vẽ HN vuông góc với DH (N thuộc BC). Chứng minh rằng:

a) Tam giác DHC đồng dạng với tam giác NHB

b) Tam giác MBH đồng dạng với tam giác BCH

c) NB = MB

Tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M, N là trung điểm BC, AC. Gọi O là giao 3 đường trung trực của tam giác.

a) Chứng minh 2 tam giác OMN và HAB đồng dạng. Tính tỉ số đồng dạng.

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh tam giác HAG đồng dạng với tam giác OMG

c) Chứng minh S_AGH = 2 SAGO

Tam giác MNP thỏa mãn 3 ∠ M + 2 ∠ N = 180 độ . Chứng minh rằng: PN² + MPMN . - MN² = 0

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại C, CH là đường cao. Lấy E thuộc CH, kẻ BD vuông góc với AE (D thuộc AE). Chứng minh:

a) AE.AD + BA.BH = AB²

b) AE.AD – HA.HB = AH²