a, Cho các số dương thỏa mãn a² + b² +c² = 3. Tìm GTNN: P =\(\frac{a^4}{b+2}+\frac{b^4}{c+2}+\frac{c^4}{a+2}\)

Tam giác ABC có 3 góc nhọn, 2 đường cao AF, BE cắt nhau tại H. Từ A kẻ Ax vuông góc AC,

từ B kẻ By vuông góc BC. Tia Ax và By cắt nhau tại K.

a) Tam giác ABC cần có điều kiện gì để AHBK là hình thoi?

b) Chứng minh BC² = CE.CA + BH.BE

c) CH giao với AB tại D. Chứng minh rằng\(\frac{AE}{EC}+\frac{AD}{DB}=\frac{AH}{HF}\)

Cho tam giác ABC, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D và cắt AC ở E. Qua C kẻ Cx // AB cắt DE ở G. Gọi H là giao của AC và BG. Kẻ HI // AB (I thuộc BC). Chứng minh:

a) DA. EG = DB. DE

b) HC² = HE. HA

c) \(\frac{1}{IH}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{CG}\)

Chứng minh các BĐT sau:

a) Cho 1 ≤ t ≤ 2. CMR :\(\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{1+t}\)≤ \(\frac{34}{33}\)

b,Cho x , y > 0 thỏa mãn x + y = 1 . Chứng minh rằng: 3(3 x - 2)² +\(\frac{8x}{y}\) ≥ 7

c) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b ta luôn có: \(\frac{a^2b}{2a^3+b^3}+\frac{2}{3}\) ≥ \(\frac{a^2+2ab}{2a^2+b^2}\)

Cho tam giác ABC có góc A=2 góc B= 4 góc C . Chứng minh rằng: \(\frac{1}{AB}=\frac{1}{BC}+\frac{1}{AC}\)

Cho hình thoi ABCD có góc B = 600. Một đường thẳng đi qua đỉnh D không cắt hình thoi nhưng cắt đường thẳng AB, BC tại E, F. Gọi M là giao của AF, CE. Chứng minh:

a) Tam giác ADE và CFD đồng dạng.

b) Tam giác AEC và CAF đồng dạng.

b) AD² = AM.AF

Cho tam giác ABC nhọn và đường cao AH. Kẻ HI, HK vuông góc với AB và AC.

a) Chứng minh AH² = AI.AB

b) Chứng minh 2 tam giác AIK và ACB đồng dạng

c) Đường phân giác của góc AHB cắt AB tại E. Biết EB : AB = 2 : 5. Tính tỉ số BI : AI