a) 2n + 111...1 = 3n + (111..1 - n)

         n chữ số          n chữ số

Vì 1 số và tổng các chữ của nó có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 111...1 - n chia hết cho 3

Mà 3n chia hết cho 3 => 2n + 111...1 chia hết cho 3

                                          n chữ số

b) 10ⁿ + 18n - 1

= 100...0 - 1 - 9n + 27n

 n chữ số 0

= 999...9 - 9n + 27

n chữ số 9

= 9.(111..1 - n) + 27n

    n chữ số 1

Vì 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 111...1 - n chia hết cho 3

=> 9.(111...1 - n) chia hết cho 27; 27n chia hết cho 27

=> 10ⁿ + 18n - 1 chia hết cho 27

c) 10ⁿ + 72n - 1

= 100...0 - 1 + 72n

n chữ số 1

= 999...9 - 9n + 81n

n chữ số 9

= 9.(111...1 - n) + 81n

Vì 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 9 => 111...1 - n chia hết cho 9

Típ theo lm tương tự câu trên

A) \(\frac{2}{3}\). \(\frac{4}{5}\)+ \(\frac{1}{3}\). \(\frac{4}{5}\)    B) \(\frac{1}{2}\). \(\frac{4}{5}\)+ \(\frac{1}{6}\): \(\frac{3}{4}\)      C) \(\frac{2}{3}\). \(\frac{4}{5}\)- \(\frac{1}{3}\). \(\frac{4}{5}\)         

= \(\left(\frac{2+1}{3}\right)\). \(\frac{4}{5}\)                =  \(\frac{2}{5}\)+ \(\frac{2}{9}\)                         = \(\frac{2}{3}\)- \(\frac{1}{3}\). \(\left(\frac{4-4}{5}\right)\)

= 1 . \(\frac{4}{5}\)                                   = \(\frac{28}{45}\)                                   = \(\frac{1}{3}\). 0

= \(\frac{4}{5}\)                                                                                         = 0

Ta có thể xây dựng cách phân tích thừa số đơn giản như sau:  \(4018=2.2009\)

Từ đó, dễ dàng thành lập được một biểu thức số có dạng  \(P=20092009...200940184018...4018\)  luôn chia hết cho  \(2009\)  \(\text{(}\)  với  \(x\)  là số các số  \(2009,\)  \(y\) là số các số  \(4018\)  \(\text{)}\)

Khi đó, tổng các chữ số cần tìm của  \(P\)  là  \(\left(2+0+0+9\right).x+\left(4+0+1+8\right).y=11x+13y\)

Mặt khác, do  \(P\)  có tổng chữ số là  \(2010\)  hay nói cách khác   \(11x+13y=2010\)  \(\left(\alpha\right)\)

Ta phải cần tìm  \(x,y\in Z^+\)  để thỏa mãn điều kiện phương trình  \(\left(\alpha\right)\)  có nghiệm 

Thật vậy, nhận thấy  \(x=y=0\)  không là nghiệm của  phương trình  \(\left(\alpha\right)\)

Do đó, từ  \(\left(\alpha\right),\)suy ra  \(x=\frac{2010-13y}{11}=183-y-\frac{2y+3}{11}\)

Để  \(x\in N\)  thì  \(\frac{2y+3}{11}\in N\)  tức là  \(2y+3\inƯ\left(11\right)=\left\{-11;-1;1;11\right\}\)

Với chú ý rằng  \(2y+3>3\)  (do  \(y>0\)  ), kết hợp với điều ở trên, ta suy ra được  \(2y+3=11\)

Hay  \(y=8\)  \(\left(\beta\right)\)

Từ  \(\left(\alpha\right),\) \(\left(\beta\right)\) dễ dàng tính được  \(x=178\) \(\left(\text{ t/m ĐK}\right)\)

Vậy, với  \(P=20092009...200940184018...4018\)    \(\text{(}\)  trong đó, có  \(178\) số  \(2009,\) \(8\) số  \(4018\)  \(\text{)}\)  thì thỏa mãn yêu cầu đề bài đã cho, nghĩa là  có ít nhất một số tự nhiên tồn tại chia hết cho  \(2009\)  với  tổng các chữ số là    \(2010\)