\(P=\left(\frac{1}{1-\sqrt{x}}-\frac{1}{1+\sqrt{x}}\right).\frac{x-1}{\sqrt{x}}=\left[\frac{1+\sqrt{x}}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}-\frac{1-\sqrt{x}}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}\right].\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}=\frac{1+\sqrt{x}-1+\sqrt{x}}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}.\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}.\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}.\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}=2\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì △>0\(\Leftrightarrow b^2-4ac>0\Leftrightarrow\left(-4\right)^2-4.2.5\left(m-1\right)>0\Leftrightarrow16-40m+40>0\Leftrightarrow40m< 56\Leftrightarrow m< \frac{7}{5}\)

Theo định lí Vi-ét với \(m< \frac{7}{5}\) ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{4}{2}=2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{5\left(m-1\right)}{2}\end{matrix}\right.\)(1)

Vì \(x_1>3,x_2>3\Rightarrow x_1+x_2>6\)(mâu thuẫn với (1))

Vậy không có giá trị m

a) Ta có △ABC vuông tại A\(\Rightarrow tan_B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\Rightarrow\widehat{B}\approx53^0\) và \(BC^2=AB^2+AC^2=9^2+12^2=225\Rightarrow BC=15\left(cm\right)\)

Ta có △ABC vuông tại A có đường cao AH\(\Rightarrow AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{9^2}{15}=\frac{27}{5}=5,4\left(cm\right)\)

b) Ta có △ABH vuông tại H có đường cao HE\(\Rightarrow AH^2=AE.AB\left(1\right)\)

Ta lại có △ACH vuông tại H có đường cao HF\(\Rightarrow AH^2=AF.AC\)(2)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)

a) Ta có \(\widehat{CEM}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn\(\Rightarrow\widehat{CEM}=90^0\)

Xét tứ giác CHKE có \(\widehat{CEK}+\widehat{CHK}=90^0+90^0=180^0\)

Suy ra tứ giác CHKE nội tiếp

b) Ta có 2 đường tròn (O) và (C) cắt nhau tại hai điểm D và E\(\Rightarrow\)DE⊥CM hay \(\widehat{CIE}=90^0\)

Ta có △CEM vuông tại E có CI là đường cao\(\Rightarrow CE^2=CI.CM\)

c) DE cắt CH tại J

Ta có \(\sqrt{x^2-8x+16}=\sqrt{x^2-2.x.4+4^2}=\sqrt{\left(x-4\right)^2}\)

Vì (x-4)²\(\ge0\) nên biểu thức \(\sqrt{x^2-8x+16}\) luôn xác định với mọi x\(\in R\)

a) \(A=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\frac{3-11\sqrt{x}}{9-x}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\frac{11\sqrt{x}-3}{x-9}=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{11\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{2x-6\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{x+4\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{11\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{2x-6\sqrt{x}+x+4\sqrt{x}+3+11\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{3x+9\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)

Gọi x,y(cm) lần lượt là hai cạnh của góc vuông

(0<x<5,0<y<5)

Ta có tổng độ dài 2 cạnh góc vuông là 7 nên x+y=7(1)

Ta lại có tam giác đó là tam giác vuông có cạnh huyền là 7 nên \(x^2+y^2=5^2\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=25\Leftrightarrow49-2xy=25\Leftrightarrow xy=12\)(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=7\\xy=12\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2-7x+12=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-4\right)=0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}y=4\\y=3\end{matrix}\right.\)

Vậy độ dài các cạnh góc vuông lần lượt là 3cm,4cm

a. Ta có: AB² = 6² = 36

AC² = 4,5² = 20,25

BC² = 7,5² = 56,25

Vì AB² + AC² = 36 + 20,25 = 56,25 = BC² nên tam giác ABC vuông tại A (theo định lí đảo Pi-ta-go)

Kẻ AH ⊥ BC

Ta có: AH.BC = AB.AC

\(Q=x^3+y^3+x^2+y^2=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y\right)^2-2xy=2.\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]+4-2xy=2\left(4-3xy\right)+4-2xy=8-6xy+4-2xy=12-8xy\)

Áp dụng bđt cosi ta có \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{4}{4}=1\Leftrightarrow-8xy\ge-8\Leftrightarrow12-8xy\ge12-8=4\Leftrightarrow Q\ge4\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x+y=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy GTNN của Q là 4