+ Theo BĐT AM-GM : \(x^3+x^2+1+1+1\ge5\sqrt[5]{x^3\cdot x^2\cdot1\cdot1\cdot1}=5x\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 1
Tương tự :
\(y^3+y^2+1+1+1\ge5y\). Dấu "=" xảy ra <=> y = 1
Do đó : \(Q+6\ge5x+5y=10\)
\(\Rightarrow Q\ge4\)
Dấu "=" xả ra <=> x = y = 1
Vậy Min Q = 4 <=> x = y = 1
\(Q=x^3+y^3+x^2+y^2=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y\right)^2-2xy=2.\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]+4-2xy=2\left(4-3xy\right)+4-2xy=8-6xy+4-2xy=12-8xy\)
Áp dụng bđt cosi ta có \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{4}{4}=1\Leftrightarrow-8xy\ge-8\Leftrightarrow12-8xy\ge12-8=4\Leftrightarrow Q\ge4\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x+y=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy GTNN của Q là 4
