\(lim\left(x->+vc\right)\dfrac{x^4+7}{x^4+1}=lim\left(x->+vc\right)\dfrac{1+\dfrac{7}{x^4}}{1+\dfrac{1}{x^4}}=\dfrac{1}{1}=1\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}=9\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1/3

Vì ABC vuông tại A nên diện tích đáy hình lăng trụ là:

3.4/2 =6 (cm2)

Thể tích hình lăng trụ là:

6 . 6 =36(cm3)

\(lim\left(x->0\right)\dfrac{\sqrt{4x+1}-\sqrt[3]{2x+1}}{x}=lim\left(x->0\right)\dfrac{\sqrt{4x+1}-1}{x}-\dfrac{\sqrt[3]{2x+1}-1}{x}=lim\left(x->0\right)\dfrac{4}{\sqrt{4x+1}+1}-\dfrac{2}{\sqrt[3]{2x+1}^2+\sqrt[3]{2x+1}+1}\\ =\dfrac{4}{\sqrt{1}+1}-\dfrac{2}{\sqrt[3]{1}^2+\sqrt[3]{1}+1}=\dfrac{4}{3}\)

\(lim\left(x->0\right)\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt{2x+1}-1}=lim\left(x->0\right)\dfrac{\left(x+1\right)-1}{\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}+1}:\dfrac{2x+1-1}{\sqrt{2x+1}+1}=lim\left(x->0\right)\dfrac{\sqrt{2x+1}+1}{2\left(\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}+1\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{2\cdot0+1}+1}{2\left(\sqrt[3]{0+1}^2+\sqrt[3]{0+1}+1\right)}=\dfrac{1}{3}\)

\(lim\left(x->4\right)\dfrac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}=lim\left(x->4\right)\dfrac{x+5-9}{\left(x-4\right)\left(\sqrt{x+5}+3\right)}=lim\left(x->4\right)\dfrac{x-4}{\left(x-4\right)\left(\sqrt{x+5}+3\right)}=lim\left(x->4\right)\dfrac{1}{\sqrt{x+5}+3}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{4+5}+3}=\dfrac{1}{3+3}=\dfrac{1}{6}\)

Điều phải chứng minh tương đương với:

\(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\\ \Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+2axby\le a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2\Leftrightarrow2axby\le a^2y^2+b^2x^2\\ \Leftrightarrow a^2y^2+b^2x^2-2\cdot ay\cdot bx\ge0\\ \Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\left(luon.dung\right)\)

Dấu = xảy ra <=> ay=bx

Điều phải chứng minh tương đương với:

\(\left(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}\right)\left(a+b\right)\ge\left(x+y\right)^2\\ \Leftrightarrow x^2+y^2+\dfrac{x^2b}{a}+\dfrac{y^2a}{b}\ge x^2+y^2+2xy\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2b}{a}+\dfrac{y^2a}{b}\ge2xy\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2b}{a}+\dfrac{y^2a}{b}-2\cdot\sqrt{\dfrac{x^2b}{a}\cdot\dfrac{y^2a}{b}}\ge0\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{\dfrac{x^2b}{a}}-\sqrt{\dfrac{y^2a}{b}}\right)^2\ge0\left(luon.dung\right)\)

Dấu = xảy ra khi x/a=y/b

Đề sai rồi nhé bạn (x+y)^2 mới đúng