Trước hết ta đi chứng minh 1 bài toán \(a^2-1=\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) (1)

Thật vậy \(\left(a-1\right)\left(a+1\right)=\left(a-1\right)a+\left(a-1\right)=a^2-a+a-1=a^2-1\)

Áp dụng (1) ta có:

\(A=\dfrac{2\cdot4}{3^2}\cdot\dfrac{3\cdot5}{4^2}\cdot...\cdot\dfrac{7\cdot9}{8^2}\\ =\dfrac{2\cdot3\cdot4^2\cdot...\cdot7^2\cdot8\cdot9}{3^2\cdot4^2\cdot...\cdot8^2}=\dfrac{2\cdot9}{3\cdot8}\\ =\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}\)

\(\dfrac{45}{x-5}-\dfrac{45}{x}=\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{x-5}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{30}\\ \Leftrightarrow\dfrac{x-\left(x-5\right)}{x\left(x-5\right)}=\dfrac{1}{30}\\ \Leftrightarrow\dfrac{5}{x^2-5x}=\dfrac{1}{30}\\ \Leftrightarrow x^2-5x=600\\ \Leftrightarrow x^2-5x-150=0\\ \Leftrightarrow\left(x+10\right)\left(x-15\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-10\\x=15\end{matrix}\right.\left(t.m\right)}\)

ĐKXĐ : \(x\notin\left\{-\dfrac{1}{2};2;-2\right\}\)

\(\dfrac{2x+1}{2x^2+5x+2}-\dfrac{3}{x^2-4}=2\\ \Leftrightarrow\dfrac{2x+1}{\left(x+2\right)\left(2x+1\right)}-\dfrac{3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=2\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(2x+1\right)\left(x-2\right)-3\left(2x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(2x+1\right)}=2\\ \Leftrightarrow2x^2-9x-5=2\left(x^2-4\right)\left(2x+1\right)\\ \Leftrightarrow2x^2-9x-5=4x^3+2x^2-16x-8\\ \Leftrightarrow4x^3-7x-3=0\\ \Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\left(t.m\right)\\x=\dfrac{3}{2}\left(t.m\right)\\x=-\dfrac{1}{2}\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)

Gọi số tự nhiên có 2 chữ số là ab (0<=a,b<=9;a khác 0; a,b là số tự nhiên)

Vì tổng 2 chữ số là 9 => a+b= 9 (1)

Khi lấy số đó chia số ngược lại thì thương là 2 dư 18

\(\Rightarrow\overline{ab}=2\cdot\overline{ba}+18\\ \Leftrightarrow10a+b=20b+2a+18\Leftrightarrow8a-19b=18\left(2\right)\)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=9\\8a-19b=18\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=9-a\\8a-19\left(9-a\right)=18\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=7\\b=2\end{matrix}\right.\left(t.m\right)\)

Vậy số phải tìm là 72

Ta có: \(a^2+b^2\le1;a^2\ge0\Rightarrow a^2\le1\)

\(\Rightarrow a^{2020}\le a^2\)

Tương tự : \(b^2\le1\Rightarrow b^{2021}\le b^2\)

\(\Rightarrow a^{2020}+b^{2021}\le a^2+b^2\le1< 2\)

làm gì đâu bạn, câu này còn nhiều cách khác nữa. Tại cho x^2+y^2=1 đều là bình phương hết nên đánh giá thoải mái. Cách tôi làm chắc nó nhanh tại dùng bunhia căn hệ số dễ hơn cosi

Chắc là để A nguyên à bạn .

\(A=\dfrac{3n+2}{n}=3+\dfrac{2}{n}\)

Để A nguyên , mà 3 nguyên 

\(\Leftrightarrow2⋮n\Leftrightarrow n\inƯ\left\{2\right\}=\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

Bài 1:

ĐKXĐ \(2x\ne y\)

Đặt \(\dfrac{1}{2x-y}=a;x+3y=b\)

HPT trở thành

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{3}{2}\\4a-5b=-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}-b\\4\left(\dfrac{3}{2}-b\right)-5b=-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}-b\\6-9b=-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{8}{9}\\a=\dfrac{11}{18}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=\dfrac{8}{9}\\2x-y=\dfrac{18}{11}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-\dfrac{18}{11}\\x+3\left(2x-\dfrac{18}{11}\right)=\dfrac{8}{9}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{82}{99}\\y=\dfrac{2}{99}\end{matrix}\right.\)

bạn tick cho mình được không ạ 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(\left(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1+y+1+x\right)=x+y+2=2+\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\ge\sqrt{2+\sqrt{2}}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)