Bài 2:Vì \(2^m+3^n\)là số chính phương nên giả sử \(2^m+3^n=a^2\)
Nếu m lẻ thì \(2^m\equiv-1\equiv2\left(mod3\right)\)và \(3^n⋮3\)\(\Rightarrow a^2\)chia 3 dư 2(Vô lí vì mọi SCP chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1)
Nếu m chẵn , đặt m = 2k(\(k\in N\))
\(\Rightarrow2^{2k}+3^n=a^2\)
\(\Rightarrow3^n=\left(a-2^k\right)\left(a+2^k\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2^k=3^i\\a+2^k=3^j\\i+j=n\end{matrix}\right.\left(i,j\in N\right)\)
\(\Rightarrow3^j-3^i=2^{k+1}\)
Do 2^(k+1) không chia hết cho 3 nên phải có i = 0=>j=n
\(\Rightarrow3^n-1=2^{k+1}\).Nếu k=0=>n=1,m=0
Nếu k>0
\(\Rightarrow3^n=2^{k+1}+1\equiv1\left(mod4\right)\Rightarrow n\)chẵn
Với n = 2t
\(\Rightarrow\left(3^t-1\right)\left(3^t+1\right)=2^{k+1}\)
Vì \(\left(3^t-1;3^t+1\right)=2\)và \(3^t+1>3^t-1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3^t-1=2\\3^t+1=2^k\end{matrix}\right.\)
=>t=>n=>m
Khá mỏi tay