\(x^4 + 2009x^2 + 2008x + 2009 \)

= \(x^4 + 2009x^2 + 2009x+2009 - x\)

= \(( x^4-x) + 2009 ( x^2+x+1)\)

= \(x(x^3-1) + 2009(x^2+x+1)\)

= \(x(x-1)(x^2+x+1) + 2009(x^2+x+1)\)

= \(( x^2+x+1)[x(x-1)+2009]\)

= \(( x^2+x+1)(x^2-x+2009)\)

Ta có ĐKXĐ : \(x\ge0 ; x\ne 4\)

\( \Rightarrow \) \(M = \frac{P}{Q} = \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\) \(\ne 1 - \frac{4}{\sqrt{x}+1}\)

M nguyên \(\Leftrightarrow \) \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) nguyên

Ta có : Với \(x\ge0\) \( \Rightarrow \) \(\sqrt{x}+1 > 0 \) \( \Rightarrow \) \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) >0

Lại có : \(x\ge0\) \( \Rightarrow \) \(\sqrt{x}+1 \ge 0 \) \( \Rightarrow \) \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) \(\le 4\)

Do đó : 0< \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) \(\le 4\)

Vì \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) nguyên \( \Rightarrow \) \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) \(\in \) { 1;2;3;4 }

* Với \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \)=1 \( \Rightarrow \) x = 9 ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

* Với \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) = 2 \( \Rightarrow \) x=1 ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

* Với \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) = 3 \( \Rightarrow \) x=\(\frac{1}{9}\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

* Với \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) = 4 \( \Rightarrow \) x=0 ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy để M nguyên khi và chỉ khi \(x \in \) { 0;\(\frac{1}{9}\) ; 1;9}

\(x^2 + x+\sqrt{x^3-1} = 2x\sqrt{x} \) ĐKXĐ : \(x \ge 1\)

\(\Leftrightarrow \) \(x^2 - 2x\sqrt{x}+ x + \sqrt{x^3-1} =0 \)

\(\Leftrightarrow \) \(x( ​\sqrt{x} -1 ) ^2 + \sqrt{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x^2+x+1} = 0\)

\(\Leftrightarrow \) \(( ​\sqrt{\sqrt{x}-1}). [ x(\sqrt{x}-1)\sqrt{\sqrt{x}-1} + \sqrt{( \sqrt{x}+1)(x^2+x+1)}] = 0\)

Với \(x \ge 1\) \(\Rightarrow \) \(x(\sqrt{x}-1)\sqrt{\sqrt{x}-1} \ge 0\)

Và \(\sqrt{(\sqrt{x}+1)(x^2+x+1)} >0 \)

Nên \(x(\sqrt{x}-1)\sqrt{\sqrt{x}-1} + \sqrt{( \sqrt{x}+1)(x^2+x+1)} > 0\)

Mà để \(( ​\sqrt{\sqrt{x}-1}). [ x(\sqrt{x}-1)\sqrt{\sqrt{x}-1} + \sqrt{( \sqrt{x}+1)(x^2+x+1)}] = 0\)Thì \(\sqrt{\sqrt{x}-1} = 0\)

\(\Leftrightarrow \) \(x=1\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=1\)

Mạng máy tính là gì? Nêu một số lợi ích chính của mạng máy tính?

a) \(A = \frac{2x^2 - 16x+43}{x^2-8x+22}\) = \(\frac{2(x^2-8x+22)-1}{x^2-8x+22}\) = \(2 - \frac{1}{x^2-8x+22}\)

Ta có : \(x^2-8x+22 \) = \(x^2-8x+16+6 = ( x-4)^2 +6 \)

Vì \((x-4)^2 \ge 0 \) với \( \forall x\in R\) Nên \(( x-4)^2 +6 \ge 6 \)

\(\Rightarrow \) \(x^2-8x+22 \) \( \ge 6\)\(\Rightarrow \) \(\frac{1}{x^2-8x+22} \) \(\le \frac{1}{6}\) \(\Rightarrow \) - \(\frac{1}{x^2-8x+22} \) \(\ge - \frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow \) A = \(2 - \frac{1}{x^2-8x+22}\) \( \ge 2-\frac{1}{6}\) = \(\frac{11}{6}\) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=4

Vậy GTNN của A = \(\frac{11}{6}\) khi và chỉ khi x=4

Ta có :Đặt t = \(\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}} ( 2014 dấu căn )\)

\(\Rightarrow\) t > \(\sqrt{3} > \sqrt{1} = 1\)

\(\Rightarrow\) \(\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}\)(2013 dấu căn ) = \(t^2 -3\)

Do đó : \(M = \frac{3-t}{6-( t^2 - 3 )}\)= \(\frac{3-t}{9-t^2}\) = \(\frac{3-t}{(3-t)(3+t)}\) = \(\frac{1}{3+t}\)

Vì t>1 \(\Rightarrow\) 3+t > 4 \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{3+t}\) < \(\frac{1}{4}\)

Vậy M < \(\frac{1}{4}\)

\(x-\sqrt{2x-3}=0 \) ĐKXĐ : \(x \ge \frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow \) \(x = \sqrt{2x-3} \)

\(\Leftrightarrow \) \(x^2 = 2x-3\)

\(\Leftrightarrow \) \(x^2 - 2x +3 = 0\)

Vì \(x^2 - 2x+3 = ( x-1)^2 +1 > 0 \) với \(\forall x\in R\)

Vậy phương trình vô nghiệm .

\(2xy = 5(x+y) +8 \) Với \(x,y \in Z\)

\(\Leftrightarrow 5x + 5y + 8 - 2xy =0\)

\(\Leftrightarrow\) \(x(5-2y) + 5y + 8 = 0\)

\(\Leftrightarrow\) \(x = \frac{-5y-8}{-2y+5}\)

\(\Leftrightarrow\) \(2x = \frac{-10y-16}{-2y+5}\)= \(\frac{10y+16}{2y-5}\)= \(\frac{5(2y-5)+41}{2y-5} \) = 5 + \(\frac{41}{2y-5}\)

Vì \(x \in Z \Rightarrow 2x \in Z \)\(\Leftrightarrow\) 5 + \(\frac{41}{2y-5}\) \( \in Z\)

\(\Rightarrow \) \(\frac{41}{2y-5}\)\( \in Z\) \(\Rightarrow \) 2y-5 \( \in Ư ( 41)\) = { \(\pm 1 ; \pm 41 \) }

* \(2y-5=1 \) \(\Rightarrow \) y = 3 Thỏa mãn ĐKXĐ \(\Rightarrow \) x = 23 Thỏa mãn ĐKXĐ

* \(2y-5 = -1\)\(\Rightarrow \) y = 2 Thỏa mãn ĐKXĐ \(\Rightarrow \) x = -18 Thỏa mãn ĐKXĐ

* \(2y-5 = 41\) \(\Rightarrow \) y = 23 Thỏa mãn ĐKXĐ \(\Rightarrow \)x = 3 Thỏa mãn ĐKXĐ

* 2y-5 = -41 => y = -18 Thỏa mãn ĐKXĐ => x =2 Thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy \(( x;y ) \in \) { \(( 23;3 ) , ( -18;2), (3;23 ) , ( 2;-18) \)}