Cho a, b, c là các số thực dương. CMR :

\(\frac{a}{5a+b}+\frac{b}{5b+c}+\frac{c}{5c+a}\le\frac{1}{2}\)

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC và đường cao AH . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA, vẽ hình vuông AHDE. Gọi F là giao điểm của DE và AC. Đường thẳng qua F song song với AB và đường thẳng qua B song song với AC cắt nhau tại điểm G. Chứng minh ba đường thẳng AG, BF, HE đồng quy.

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng :

\(\frac{a}{\sqrt{4a^2+\left(b+c\right)^2}}+\frac{b}{\sqrt{4b^2+\left(c+a\right)^2}}+\frac{c}{\sqrt{4c^2+\left(a+b\right)^2}}\le\frac{3\sqrt{2}}{4}\)

Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\). Chứng minh rằng :

\(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\le3\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\)

Cần lấy bao nhiêu gam tinh thể CuSO₄.5H₂O cho vào bao nhiêu gam dung dịch CuSO₄ 4% để điều chế được 500g dung dịch CuSO₄ 8% ?

Cho 0,2 mol CuO tác dụng vừa đủ với lượng axit có trong dung dịch H₂SO₄ 20% đun nóng. Sau phản ứng làm nguội dung dịch đến 10^oC. Biết rằng độ tan của CuSO₄ ở 10^oC là 17,4 gam. Tính khối lượng tinh thể CuSO₄.5H₂O đã tách ra khỏi dung dịch.

Cho ba số thực dương a, b, c thuộc đoạn [-1; 1] thỏa mãn \(1+2abc\ge a^2+b^2+c^2\). Chứng minh rằng :

\(1+2a^2b^2c^2\ge a^4+b^4+c^4\)

Cho các số thực dương thỏa mãn : \(x^2+y^2+z^2=3\)

Chứng minh rằng : \(\frac{x}{3-yz}+\frac{y}{3-zx}+\frac{z}{3-xy}\le\frac{3}{2}\)

Tính :

P = \(\left(1-\frac{1}{1+2}\right)\left(1-\frac{1}{1+2+3}\right)...\left(1-\frac{1}{1+2+...+2017}\right)\)