Chứng minh các mệnh đề sau

\(a,\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{n}{n+1}\) \(\forall n\in N\) *

\(b,1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 2-\dfrac{1}{n}\forall n\ge2\)

Chứng minh các mệnh đề sau:

\(a,1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) \(\forall n\in N\) *

\(b,1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\) \(\forall n\in N\) *

Số giá trị nguyên dương của n thỏa:

\(4C^4_{n-1}-4C^3_{n-1}< 5A^2_{n-2}\)

Giải phương trình:

\(A^5_x=336C^{x-5}_{x-2}\)

Giải phương trình:

\(C^{x-2}_{x+1}+2C^3_{x-1}=7\left(x-1\right)\)

Tìm số tự nhiên x thỏa:

\(C_{8+x}^{x+3}=5A^3_{x+6}\)

Giải phương trình:

\(C^{x+4}_{10+x}=C^{2x-10}_{10+x}\)

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho : 

a) Luôn có mặt số 1, số 2 và số 3.

b) Luôn có mặt số 0, số 2 , số 3 và 3 số này phải đứng cạnh nhau.

c) Luôn có mặt 2 số chẵn và 3 số lẻ. 

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho :  

a) Luôn có mặt số 1 và số 2 và số 1; 2 phải đứng cạnh nhau.

b) Luôn có mặt số 1 và số 2 và số 1; 2 không đứng cạnh nhau.