\(a^3\left(a-1\right)+2\left(a-1\right)=\left(a-1\right)\left(a^3+2\right)=0\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-1=0\\a^3+2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a^3=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\\sqrt[3]{-2}\end{matrix}\right.\)

Gọi x là thời gian làm xong công việc của ngườ thứ 2 , x>0

Trong 1h cả người làm được:\(\dfrac{1}{12}\)(công việc)

Trong 1h người thứ 2 làm được:\(\dfrac{1}{x}\) (công việc)

Vì họ làm chung trong 4h thì người thứ nhất chuyển sang làm việc khác, người thứ 2 làm nốt công việc trong 10h\(\Rightarrow\) ta có phương trình

\(4.\dfrac{1}{12}+10.\dfrac{1}{x}=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}+\dfrac{10}{x}=1\Rightarrow\dfrac{10}{x}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow x=15\)Vậy người thứ hai làm một mình sau 15h thì hoàn thành công việc

Với mọi \(a,b,c\in R\) và \(x,y,z>0\) . ta có:

\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) (1)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)

Thật vậy, với \(a,b\in R\) và \(x,y>0\) ta có

\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) (2)

\(\Leftrightarrow\left(a^2y+b^2x\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)

Áp dụng BĐT (2) ta có

\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\dfrac{\dfrac{1}{a^2}}{ab+ac}+\dfrac{\dfrac{1}{b^2}}{bc+ab}+\dfrac{\dfrac{1}{c^2}}{ca+cb}\)Áp dụng BĐT (1) ta có:

\(\dfrac{\dfrac{1}{a^2}}{ab+ac}+\dfrac{\dfrac{1}{b^2}}{ab+bc}+\dfrac{\dfrac{1}{c^2}}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}{2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)}\)(vì abc=1)

Hay \(\dfrac{\dfrac{1}{a^2}}{ab+bc}+\dfrac{\dfrac{1}{b^2}}{ab+bc}+\dfrac{\dfrac{1}{c^2}}{ac+bc}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)Mà \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\) nên \(\dfrac{\dfrac{1}{a^2}}{ab+ac}+\dfrac{\dfrac{1}{b^2}}{ab+bc}+\dfrac{\dfrac{1}{c^2}}{ac+bc}\ge\dfrac{3}{2}\Rightarrowđpcm\)

Theo bài toán:

\(a=3n+1,b=3m+2\)

\(\Rightarrow ab=\left(3n+1\right)\left(3m+2\right)=9mn+6n+3m+2=3\left(3mn+3n+m\right)+2\)Vì \(3\left(3mn+2n+m\right)⋮3\) \(\Rightarrow\) ab chia 3 dư 2

2, \(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=2n^2-3n-2n^2-3n=-5n\) vì \(-5n⋮5\Rightarrow n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)

abcd  = a.1000 + b.100 + c.10 + d -( a.1 + b . 1 + c.1 + d.1)

= a . 999 + b.99 + c . 9 Chia hết cho 9 ( vì 999 , 99 , 9 chia hết cho 9 )

                           Vây ... chia hết cho 9

Sau 3h ô tô thứ nhất đi được:

\(S_1=v_1.t=120\left(km\right)\)

Sau 3h ô tô thứ hai đi được:

\(S_2=v_2t=90\left(km\right)\)

Vì hai ô tô xuất phát cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 20km\(\Rightarrow\)

Khoảng cách giữa hai xe sau 3h là:

\(S=S_1-S_2-20=10\left(km\right)\)

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là : \(\left(n-1\right);n;\left(n+1\right)\)

Ta có:

\(\left(n-1\right)n+n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n-1\right)\) =242

\(=n^2-n+n^2+n+n^2-1=3n^2-1=242\)\(\Rightarrow3n^2=242+1=243\Rightarrow n^2=81\)

Vì n là số tự nhiên nên : n=9

Vậy 3 số cần tìm là : 8,9,10

đề thiếu hay sao á