\(\left(a^2+4\right)^2-16a^2=\left(a^2+4+4a\right)\left(a^2+4-4a\right)=\left(a+2\right)^2\left(a-2\right)^2\)

ĐKXĐ:

\(x\ne\pm2\)

\(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{x^2+1}{x^2-4}=\dfrac{x+2}{x^2-4}+\dfrac{x-2}{x^2-4}+\dfrac{x^2+1}{x^2-4}=\dfrac{x+2+x-2+x^2+1}{x^2-4}=\dfrac{x^2+2x+1}{x^2-4}=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{x^2-4}\)b, Để B = 2 hay \(\dfrac{\left(x+1\right)^2}{x^2-4}=2\Rightarrow x^2+2x+1=2\left(x^2-4\right)\Leftrightarrow x^2+2x+1-2x^2+8=0\Leftrightarrow2x-x^2+9=0\Leftrightarrow-\left(x^2-2x+1\right)+10=0\Rightarrow-\left(x-1\right)^2=-10\Rightarrow\left(x-1\right)^2=10\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=\sqrt{10}\\x-1=-\sqrt{10}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{10}+1\\x=-\sqrt{10}+1\end{matrix}\right.\)

\(D=\left(9x-1\right)^2+\left(1-5x\right)^2+2\left(9x-1\right)\left(1-5x\right)=\left(9x-1+1-5x\right)^2=\left(4x\right)^2=16x^2\)

Vẽ hình thang ABCD nối B với D

Áp dụng bất đăng thức tam giác được:

BD + AB > AD (1)

BD + CD > BC (2)

Lấy (2) trừ (1) ta được:

BD + CD - BD - AB > BC - AD

\(\Leftrightarrow\) CD - AB > BC - AD

Vì tổng 4 số bằng 2238 => số đầu tiên ABCD < 2238 => A = 0 hoặc A = 1 hoặc A = 2.

+) Nếu A = 0 thì ABCD + ABC + AB + A = BCD + BC + B < 999 + 99 + 9 = 1107 < 2238, Không thỏa mãn đề bài

+) Nếu A = 1 thì ABCD + ABC + AB + A = (1000 + BCD) + (100 + BC) + (10 + B) + 1 = 1111 + (BCD + BC + B) < 1111 + (999 + 99 + 9) = 2218 < 2238, Không thỏa mãn đề bài

+) Nếu A = 2 => ABCD + ABC + AB + A = (2000 + BCD) + (200 + BC) + (20 + B) + 2 = 2222 + (BCD + BC + B)

 Suy ra 2222 + (BCD + BC +B) = 2238 

=> BCD + BC + B = 2238 - 2222 = 16

=> B = 0 và CD + C = 16 => C = 1 và 1D + 1 = 16 => D = 5

Đáp số: A = 2, B = 0, C = 1, D = 5 (ghép 4 số lại thì được số 2015)

\(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3-2\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1=0\)\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=1\left(đpcm\right)\)

\(a,A=\left(2x+5\right)^3-30x\left(2x+5\right)-8x^3=8x^3+60x^2+150x+125-60x^2-150x-8x^3=125\) Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào biến

\(b,\left(3x+1\right)^2+12-\left(3x+5\right)^2+2\left(6x+3\right)=9x^2+6x+1+12x-9x^2-30x-25+12x+6=-18\)Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào biến

\(a,2x^2-7x+5=0\Leftrightarrow2x^2-2x-5x+5=0\Leftrightarrow2x\left(x-1\right)-5\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x-5\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\2x-5=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\2x=5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2,5\end{matrix}\right.\)\(b,x\left(2x-5\right)-4x+10=0\Rightarrow x\left(2x-5\right)-2\left(2x-5\right)=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(2x-5\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\2x-5=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\2x=5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=2,5\end{matrix}\right.\)\(c,\left(x-5\right)\left(x+5\right)-x\left(x-2\right)=15\Leftrightarrow x^2-25-x^2+2x-15=0\Leftrightarrow2x-40=0\Rightarrow2x=40\Rightarrow x=20\)\(d,x^2\left(2x-3\right)-12+8x=0\Rightarrow2x^3-3x^2-12+8x=0\Leftrightarrow2x^3+8x-3x^2-12=0\Leftrightarrow2x\left(x^2+4\right)-2\left(x^2+4\right)=0\Leftrightarrow\left(2x-2\right)\left(x^2+4\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-2=0\\x^2+4=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=2\\x^2=-4\end{matrix}\right.\Rightarrow x=1\)

\(A=4x^2+4x+11=\left(4x^2+4x+1\right)+10=\left(2x+1\right)^2+10\ge10\)Vậy GTNN của A là 10 khi \(2x+1=0\Rightarrow x=\dfrac{-1}{2}\)

\(A=4x^2+4x+2=\left(4x^2+4x+1\right)+1=\left(2x+1\right)^2+1\ge1\Rightarrowđpcm\)\(B=4x^2+3x+2=\left(4x^2+3x+\dfrac{9}{16}\right)+\dfrac{23}{16}=\left(2x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{23}{16}\ge\dfrac{23}{16}\Rightarrowđpcm\)\(C=2x^2+3x+4=\left(x^2+3x+\dfrac{9}{4}\right)+x^2+\dfrac{7}{9}=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+x^2+\dfrac{7}{9}\ge\dfrac{7}{9}\Rightarrowđpcm\)