Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Dựng cát tuyến AMN không đi qua O, M nằm giữa A và N. Dựng hai tiếp tuyến AB,AC với (O) . Gọi I là trung điểm của MN. Hai tia BO và CI lần lượt cắt O tại D và E. Gọi K là giao điểm của BC và MN, H là giao điểm của BC và AO. Chứng minh \(\frac{AK}{AM}=\frac{AK}{AN}\)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn (x-y)(x-z)=1 y khác z

CM: \(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{\left(y-z\right)^2}+\frac{1}{\left(z-x\right)^2}\ge4\)

Tìm x để y đạt GTLN thỏa mãn \(x^2+2y^2+2xy-8x-4y=0\)

Trên đường tròn (O) có đường kính AB=2R, lấy một điểm C sao cho AC = R và lấy điểm D bất kì trên cung nhỏ BC ( điểm D không trùng với B và C). Gọi E là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng đi qua E vuông góc với đường thẳng AB tại H cắt tia AC tại F. Điểm M là trung điểm của đoạn EF

a) Chứng minh tứ giác BHCF nội tiếp

b) Chứng minh HA.HB=HE.HF

c) Chứng minh CM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác ABDC có chu vi lớn nhất

Cho x, y là các số dương thỏa mãn \(x+\frac{1}{y}\le1\). Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{x}{2y}+\frac{y}{x}\)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm C bất kỳ. Đường thẳng (d) vuông góc với AB tại điểm C cắt nửa đường tròn (O) tại điểm M. Trên cung nhỏ MB lấy điểm N bất kì, tia AN cắt đường thẳng (d) tại điểm F, tia BN cắt đường thẳng (d) tại điểm E. Đưởng thẳng AE cắt nửa đường trong (O) tại điểm D

Từ nhân vật ông hai trong truyện làng, trình bày suy nghĩ của em về lòng yêu nước của người dân hiện nay