Ta có: a₁³-a₁=a₁(a₁²-1)=(a₁-1)a₁(a₁+1), là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên a₁³-a₁ chia hết cho 2 và 3. Mà (2;3)=1

=> a₁³-a₁ chia hết cho 6

Chứng minh tương tự:

a₂³-a₂ chia hết cho 6

...

a₂₀₁₃³ - a₂₀₁₃ chia hết cho 6.

=>(a₁³-a₁) + (a₂³-a₂)+...+(a₂₀₁₃² - a₂₀₁₃) chia hết cho 6

Hay S-P chia hết cho 6.

Do đó: Nếu một trong 2 biểu thức S, P chia hết cho 6 ta suy ra biểu thức còn lại cũng chia hết cho 6.

Vậy S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.

x¹³=27x¹⁰

<=>x¹³-27x¹⁰=0

<=>x¹⁰(x³-27)=0

<=>x¹⁰(x-3)(x²+3x+9)=0

<=>\(\left[{}\begin{matrix}x^{10}=0\\x-3=0\\x^2+3x+9=0\end{matrix}\right.\)(I)

Dễ thấy x²+3x+9=0 vô nghiệm vì có \(\Delta=3^2-4.1.9=-27< 0\)

Do đó hệ (I) tương đương với:

\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\)

Vậy S={0;3}.

Ta đánh giá phương trình ở đề bài:

Dễ thấy (x-3y)², (y-1)², (x+z)² đều lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của biến. Do vậy tổng của chúng bằng 0 khi và chỉ khi:\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3y\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\\\left(x+z\right)^2=0\end{matrix}\right.\)<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=3y\\y=1\\x=-z\end{matrix}\right.\)<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\\z=-3\end{matrix}\right.\)

=>A=3x+2y+z=3.3+2.1-3=8

Ta có: a=5¹².4⁶=5¹².(2²)⁶=5¹².2¹²=(5.2)¹²=10¹²

(=1000000000000)

Vậy số chữ số của a là 12.

Sử dụng tính chất tỉ lệ thức:

\(\dfrac{a}{2b}=\dfrac{b}{2c}=\dfrac{c}{2d}=\dfrac{d}{2a}=\dfrac{a+b+c+d}{2b+2c+2d+2a}\)

=\(\dfrac{a+b+c+d}{2\left(a+b+c+d\right)}=\dfrac{1}{2}\)

=>a=b,b=c,c=d,d=a

=>a=b=c=d

Thay vào A ta có:

\(A=\dfrac{2011a-2010a}{a+a}+\dfrac{2011a-2010a}{a+a}+\dfrac{2011a-2010a}{a+a}+\dfrac{2011a-2010a}{a+a}\)

=\(\dfrac{a}{2a}.4=2\)

\(A=\dfrac{9^{14}.25^6.8^7}{18^{12}.625^3.24^3}=\dfrac{\left(3^2\right)^{14}.\left(5^2\right)^6.\left(2^3\right)^7}{\left(2.3^2\right)^{12}.\left(5^4\right)^3.\left(3.2^3\right)^3}\)

=\(\dfrac{3^{28}.5^{12}.2^{21}}{2^{12}.3^{24}.5^{12}.3^3.2^9}\)=\(\dfrac{3^{28}.5^{12}.2^{21}}{2^{21}.3^{27}.5^{12}}=3\)

a) \(\dfrac{32}{12}=\dfrac{4.8}{4.3}=\dfrac{8}{3}\)

b) \(\dfrac{-26}{156}=\dfrac{-26}{26.6}=\dfrac{-1}{6}\)

c) \(\dfrac{4.7}{9.32}=\dfrac{4.7}{9.4.8}=\dfrac{7}{9.8}=\dfrac{7}{72}\)

d) \(\dfrac{2.5.13}{26.35}\dfrac{2.5.13}{2.13.5.7}=\dfrac{1}{7}\)

e)\(\dfrac{7.6-9.13}{18}=\dfrac{42-117}{18}=\dfrac{-75}{18}=\dfrac{-25.3}{6.3}=\dfrac{-25}{6}\)

f) \(\dfrac{17.5-17}{3-20}=\dfrac{17.\left(5-1\right)}{-17}=-4\)

g) \(\dfrac{49+7.49}{49}=\dfrac{49.\left(1+7\right)}{49}=8\)

Bạn tham khảo lời giải trên hoc24h ở trang:

https://hoc24.vn/hoi-dap/question/207843.html

Điều kiện: b khác 0.

Sau khi cộng cả tử số và mẫu số của phân số\(\dfrac{a}{b}\) với 3 ta được phân số mới là \(\dfrac{a+3}{b+3}\)(Điều kiện: b khác -3)

Theo đề bài: \(\dfrac{a+3}{b+3}=\dfrac{4}{5}\)

<=>5(a+3)=4(b+3)

<=>5a+15=4b+12

<=>5a=4b-3

<=>\(a=\dfrac{4b-3}{5}\)

Dễ thấy a nguyên nên a=k(k nguyên).

=>\(\dfrac{4b-3}{5}=k\)(1)

=>\(b=\dfrac{5k+3}{4}\)

Mặt khác vì \(b\ne0,b\ne-3\)

Nên từ (1) ta lần lượt suy ra \(k\ne\dfrac{-3}{5},k\ne-3\).

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=k\\b=\dfrac{5k+3}{4}\\k\in Z,k\ne\dfrac{-3}{5},k\ne-3\end{matrix}\right.\).