Question

Cho biểu thức S=a₁³+a₂³+...+a₂₀₁₃³ và P=a₁+a₂+...+a₂₀₁₃ ; \(a\in Z\)

Chứng minh \(S⋮6\) khi và chỉ khi \(P⋮6\)

Answer 1

Ta có: a₁³-a₁=a₁(a₁²-1)=(a₁-1)a₁(a₁+1), là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên a₁³-a₁ chia hết cho 2 và 3. Mà (2;3)=1

=> a₁³-a₁ chia hết cho 6

Chứng minh tương tự:

a₂³-a₂ chia hết cho 6

...

a₂₀₁₃³ - a₂₀₁₃ chia hết cho 6.

=>(a₁³-a₁) + (a₂³-a₂)+...+(a₂₀₁₃² - a₂₀₁₃) chia hết cho 6

Hay S-P chia hết cho 6.

Do đó: Nếu một trong 2 biểu thức S, P chia hết cho 6 ta suy ra biểu thức còn lại cũng chia hết cho 6.

Vậy S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.