a) Ta có:

(x - 1)⁵ = - 243

=> (x - 1)⁵ = (-3)⁵

=> x - 1 = - 3

=> x = -3 + 1

=> x = -2

Vậy x = -2

b) Ta có:

\(\dfrac{x+2}{11}+\dfrac{x+2}{12}+\dfrac{x+2}{13}=\dfrac{x+2}{14}+\dfrac{x+2}{15}\)

\(\Rightarrow\left(x+2\right).\dfrac{1}{11}+\left(x+2\right).\dfrac{1}{12}+\left(x+2\right).\dfrac{1}{13}=\left(x+2\right).\dfrac{1}{14}+\left(x+2\right).\dfrac{1}{15}\)

=> \(\left(x+2\right).\left(\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{13}\right)=\left(x+2\right).\left(\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{15}\right)\)

=> \(\left(x+2\right).\dfrac{431}{1716}=\left(x+2\right).\dfrac{29}{210}\)

=> \(\left(x+2\right).\dfrac{431}{1716}-\left(x+2\right).\dfrac{29}{210}=0\)

=> (x + 2).(\(\dfrac{431}{1716}-\dfrac{29}{210}\)) = 0

mà \(\dfrac{431}{1716}-\dfrac{29}{210}\) \(\ne\) 0

=> x + 2 = 0

=> x = -2

Vậy x = -2

c) Ta có :

\(\left|3x-2\right|+5x=4x-10\)

=> \(\left|3x-2\right|=4x-5x-10\)

=> \(\left|3x-2\right|=-x-10\)

=> 3x - 2 = -x - 10

hoặc 3x - 2 = -(-x -10)

*) Nếu 3x - 2 = -x - 10

=> 3x + x = -10 + 2

=> 4x = -8

=> x = -2

*) Nếu 3x - 2 = -(-x -10)

=> 3x - 2 = x +10

=> 3x - x = 10 + 2

=> 2x = 12

=> x = 6

Vậy x = -2 hoặc x = 6

*) Ta có :

OB = OA + AB

OD = OC + CD

Mà OA = OC (gt)

và AB = CD (gt)

=> OB = OD

=> \(\Delta\) OBD cân tại O

=> đpcm

*) Xét \(\Delta\) DAB và \(\Delta\) BCD có:

AB = CD (gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{CDB}\) ( \(\Delta\) OBD cân tại O)

chung BD

=> \(\Delta\) DAB = \(\Delta\) BCD(c-g-c)

=> AD = BC (cặp cạnh tương ứng)

Ta có:

A = \(\dfrac{-4}{\left(-2x-3\right)+5}\)

= \(-\dfrac{4}{\left(-2x-3\right)^2+5}\)

Để A đạt giá trị nhỏ nhất

=> \(\dfrac{4}{\left(-2x-3\right)^2+5}\) đạt giá trị lớn nhất

=> (-2x -3)² +5 đạt giá trị nhỏ nhất

Vì (-2x -3)² \(\ge\) 0 với \(\forall\) x

=> (-2x -3)² +5 \(\ge\) 5 với \(\forall\) x

mà (-2x -3)² +5 đạt giá trị nhỏ nhất

=> (-2x -3)² = 0

=> -2x - 3 = 0

=> -2x = 3

=> x = \(\dfrac{-3}{2}\)

Thay x = \(\dfrac{-3}{2}\) vào A ta được :

A = \(\dfrac{-4}{\left(-2.\dfrac{-3}{2}-3\right)+5}\)

= \(\dfrac{-4}{5}\)

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{-4}{5}\) khi x = \(\dfrac{-3}{2}\)

Tự vẽ hình

Bài 1:

Xét \(\Delta\) AHB vuông tại H và \(\Delta\) AHC vuông tại H có:

AB = AC (\(\Delta\) ABC cân tại A)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (\(\Delta\) ABC cân tại A)

=> \(\Delta\) AHB = \(\Delta\) AHC (ch-gn)

=> đpcm

Bài 2:

a) Xét \(\Delta\) AHB vuông tại H và \(\Delta\) AHC vuông tại H có:

AB = AC (\(\Delta\) ABC cân tại A)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (\(\Delta\) ABC cân tại A)

=> \(\Delta\) AHB = \(\Delta\) AHC (ch-gn)

=> HB = HC (cặp cạnh tương ứng)

=> đpcm

b) Theo câu a :

\(\Delta\) AHB = \(\Delta\) AHC

=> \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\) (cặp góc tương ứng)

=> đpcm

c) Ta có :

H \(\in\) BC

=> BC = BH + HC = 10 cm

mà BH = HC (theo câu a)

=> BC = 2.BH = 10 cm

=> BH = 5 cm

Áp dụng định lý pytago vào \(\Delta\)ABH vuông tại H có:

AH² + BH² = AB²

=> AH² = AB² - BH²

=> AH² = 13² - 5²

=> AH² = 169 - 25

=> AH² = 144

=> AH = 12 cm (do AH > 0 cm)

Vậy AH = 12 cm

Tự vẽ hình

a) Xét \(\Delta\) AFH vuông tại H và \(\Delta\) AED vuông tại H có :

\(\widehat{FAH}=\widehat{EAH}\) (AD là tia phân giác \(\widehat{FAE}\) )

chung AH

=> \(\Delta\) AFH = \(\Delta\) AED (cgv - gn)

=> AF = AE (cặp cạnh tương ứng)

=> \(\Delta\) AFE cân

b) Vì \(\Delta\) AFE cân

=> \(\widehat{AFE}=\widehat{AEF}\)

Vì EF // BK

=> \(\widehat{AFE}=\widehat{K}\) (đồng vị)

và \(\widehat{AEF}=\widehat{ABK}\) (đồng vị)

Mà \(\widehat{AFE}=\widehat{AEF}\)

=> \(\widehat{K}=\widehat{ABK}\)

=> \(\Delta\) ABK cân tại A

=> AK = AB

Ta có :

AK = AF + KF

AB = AE + EB

Mà AK = AB và AF = AE

=> FK = EB

c) Từ M kẻ MI // AK

Nối FI

Vì FM // KI

=> \(\widehat{MFI}=\widehat{FIK}\) (so le trong)

Vì FD // MI

=> \(\widehat{KFI}=\widehat{FIM}\) (so le trong)

Xét \(\Delta\) FKI và \(\Delta\) IFM có :

\(\widehat{KFI}=\widehat{FIM}\) (chứng minh trên)

chung FI

\(\widehat{KIF}=\widehat{MFI}\) (so le trong)

=> \(\Delta\) FKI = \(\Delta\) IFM (g-c-g)

=> FK = MI (cặp cạnh tương ứng)

Vì FE // BK

=> \(\widehat{IBM}=\widehat{BME}\) (so le trong)

mà \(\widehat{BME}=\widehat{CMF}\) (đối đỉnh)

=> \(\widehat{CMF}=\widehat{IBM}\)

Vì MI // CF

=> \(\widehat{MCF}=\widehat{IMB}\) (đồng vị)

Xét \(\Delta\) FCM và \(\Delta\) IMB có :

\(\widehat{MCF}=\widehat{IMB}\) (chứng minh trên)

CM = MB (M là trung điểm của BC)

\(\widehat{CMF}=\widehat{IBM}\) (chứng minh trên)

=> \(\Delta\) FCM = \(\Delta\) IMB (g-c-g)

=> CF = MI (cặp cạnh tương ứng)

mà MI = FK (chứng minh trên)

=> CF = FK

Mà FK = EB (theo câu b)

=> CF = EB

Theo câu a :

FA = EA

=> \(\dfrac{AE+FA}{2}\) = AE

=> AE = \(\dfrac{AE+AC+FC}{2}\)

Mà CF = EB

=> \(\dfrac{AE+EB+AC}{2}\)

=> AE = \(\dfrac{AB+AC}{2}\)

=> đpcm

hình như đề bài sai , mình làm theo đề đã sửa lại như sau :

" cho tam giác ABC vuông tại A , \(\widehat{B}< \widehat{C}\) . Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. CMR : BD > DC "

Tự vẽ hình

Trong \(\Delta\) ABC vuông tại A có:

\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

Mà \(\widehat{B}< \widehat{C}\)

=> \(\widehat{B}< 45^0< \widehat{C}\) (1)

Ta có :

\(\dfrac{x^4+2016}{x^4+1008}\) = \(\dfrac{x^4+1008+1008}{x^4+1008}\)

= \(\dfrac{x^4+1008}{x^4+1008}+\dfrac{1008}{x^4+1008}\)

= 1 + \(\dfrac{1008}{x^4+1008}\)

Để \(\dfrac{x^4+2016}{x^4+1008}\) đạt giá trị lớn nhất thì \(\dfrac{1008}{x^4+1008}\) phải đạt giá trị lớn nhất

=> x⁴ +1008 phải đạt giá trị nhỏ nhất

Vì x⁴ \(\ge\) 0 với \(\forall\) x

=> x⁴ + 1008 \(\ge\) 1008 với \(\forall\) x

mà x⁴ +1008 phải đạt giá trị nhỏ nhất

nên dấu " = " xảy ra khi x⁴ = 0

=> x = 0

Thay x = 0 vào \(\dfrac{x^4+2016}{x^4+1008}\) ta được :

\(\dfrac{x^4+2016}{x^4+1008}\) = \(\dfrac{2016}{1008}=2\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(\dfrac{x^4+2016}{x^4+1008}\) là 2 tại x = 0

Câu c hình như sai đề nên mk làm theo đề câu c như sau :

" Chứng minh AE = AB "

Tự vẽ hình

a) Xét \(\Delta\) AHB vuông tại H và \(\Delta\) AHC vuông tại H có :

AB = AC (\(\Delta\) ABC cân tại A)

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (\(\Delta\) ABC cân tại A)

=> \(\Delta\) AHB = \(\Delta\) AHC (ch-gn)

=> BH = HC (cặp cạnh tương ứng )

b) Xét \(\Delta\) BHD vuông tại H và \(\Delta\) CHD vuông tại H có :

BH = HC (theo câu a )

chung DH

=> \(\Delta\) BHD = \(\Delta\) CHD (cgv - cgv)

=> BD = DC (cặp cạnh tương ứng )

=> \(\Delta\) BDC cân tại D

c) Vì AE // BC

=> \(\widehat{AEB}=\widehat{EBC}\) (so le trong )

Vì BE là tia phân giác \(\widehat{ABC}\)

=> \(\widehat{ABE}=\widehat{EBC}\) = \(\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\)

Mà \(\widehat{AEB}=\widehat{EBC}\)

=> \(\widehat{ABE}=\widehat{AEB}\)

=> \(\Delta\) ABE cân tại A

=> AB = AE

=> đpcm