Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:

\(\left(x^2+y^2\right)\left(1+1\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(2\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\left(x+y\right)^2\le2\)

Vậy GTLN của (x+y)² tại x²+y²=1 là 2

Tùy huyện thoi bạn

Cách làm:

(1+x⁴)(1+y⁴)

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:

\(\left[1+\left(x^2\right)^2\right]+\left[x+\left(y^2\right)^2\right]\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)

\(\left[1+\left(x^2\right)\right]^2+\left[1+\left(y\right)^2\right]^2\ge\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2\)

Để đạt Min thì \(\left(1+x^4\right)\left(1+y^4\right)=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]\)

Đặt xy=t, ta có:

\(P=\left(1+x^4\right)\left(1+y^4\right)+4\left(xy-1\right)+\left(3xy-1\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left[\left(x+y\right)^2-2t\right]^2+4\left(t-1\right)+\left(3t-1\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(4-2t\right)^2+\left(4t-4\right)\left(3t-1\right)\)

\(\Leftrightarrow P=16-16t+4t^2+12t^2-16t+4\)

\(\Leftrightarrow P=16t^2-32t+16+4\)

\(\Leftrightarrow P=\left(4t-4\right)^2+4\)

Ta có: \(\left(4t-4\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(4t-4\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow Min_P=4\)

@Phương An

Cách làm violympic: Dễ thấy x và y tương xứng với nhau, => x=y

Thay vào P=4

Ahihi, chờ t xíu