Câu 2:

a/ Thay m=2 vào phương trình (1) ta đươc;

\(x^2+4\left(2-1\right)x-2^2-8=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+6x\right)-\left(2x+12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+6\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+6=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-6\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy khi m=2 thì phương trình (1) có S=\(\left\{-6;2\right\}\)

b/ Xét phương trình (1) có \(\Delta=16\left(m-1\right)^2-4.1.\left(-m^2-8\right)\)

= \(20m^2-32m+48\)

= \(20m^2-32m+\dfrac{64}{5}+\dfrac{176}{5}\)

= \(\left(\sqrt{20}m-\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\right)^2+\dfrac{176}{5}\)

Ta luôn có: \(\left(\sqrt{20}m-\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\right)^2\)\(\ge0\) với \(\forall m\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{20}m-\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\right)^2+\dfrac{176}{5}>0với\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Xét phương trình (1), áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4\left(m-1\right)\\x_1.x_2=-m^2-8\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:

\(Q=x_1+x_2+x_1.x_2\)

=\(-4\left(m-1\right)-m^2-8\)

= \(-m^2-4m-4\)

=- \(\left(m+2\right)^2\)

Ta luôn có: \(-\left(m+2\right)^2\le0với\forall m\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow-\left(m+2\right)^2=0\Leftrightarrow m+2=0\Leftrightarrow m=-2\)

Vậy GTLN của \(Q=x_1+x_2+x_1.x_2\) là 0 khi m=-2

Có: abcd = ab x 100 + cd = cd x 2 x 100 + cd = cd x 200 + cd = cd x 201

Vì 201 chia hết cho 67

=> 201 x cd chia hết cho 67

=> abcd chia hết cho 67 (đpcm)

Câu 1:

a/ Ta có: \(2\sqrt{9}+3\sqrt{16}=2.3+3.4=18\)

b/ Phương trình:

3x-15=0

\(\Leftrightarrow3x=15\)

\(\Leftrightarrow x=5\)

Vậy phương trình có S=\(\left\{5\right\}\)

c/ \(x^2+\left(x-1\right)\left(3-x\right)>0\)

\(\Rightarrow x^2+3x-x^2-3+x>0\)

\(\Rightarrow4x-3>0\)

\(\Rightarrow x>\dfrac{3}{4}\)

Gọi số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là \(\overline{ab}\) ( đk: a,b\(\in\) N* ; a>0,b>0 ; b>a )

Theo đề bài ta có:

Tổng các chữ số của số đó bằng 13 nên ta có: a+b=13 (1)

Nếu lấy chữ số hàng đơn vị chia cho chữ số hàng chục thì được thương là 2 và dư là 1 nên ta có: b= 2a +1 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=13\\b=2a+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2a+1=13\\b=2a+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a=12\\b=2a+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=9\end{matrix}\right.\)(t/m đk)

Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là 49

\(\Delta BAO\infty\Delta B'A'O\Rightarrow\dfrac{BA}{B'A'}=\dfrac{AO}{A'O}\Leftrightarrow\dfrac{2}{B'A'}=\dfrac{24}{A'O}\left(1\right)\)

\(\Delta COF'\infty\Delta B'A'F'\Rightarrow\dfrac{CO}{B'A'}=\dfrac{OF'}{A'F'}\Leftrightarrow\dfrac{2}{B'A'}=\dfrac{8}{A'F'}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{24}{A'O}=\dfrac{8}{A'F'}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{24}{A'O}=\dfrac{8}{A'F'}=\dfrac{24-8}{A'O-A'F'}=\dfrac{16}{OF'}=\dfrac{16}{8}=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{24}{A'O}=2\Rightarrow A'O=\dfrac{24}{2}=12\left(cm\right)\)

Thay A'O=12cm vào (1) ta được:

\(\dfrac{2}{B'A'}=\dfrac{24}{12}\Rightarrow B'A'=\dfrac{12.2}{24}=1\left(cm\right)\)

Vậy chiều cao của ảnh là 1cm, khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là 12cm

Kí hiệu \(\infty\) thay cho đồng dạng nha bn..^^

ĐKXĐ: x\(\ge0\)

=\(\dfrac{\left(x+4\sqrt{x}+4\right)-1}{x+4\sqrt{x}+4}\) =1 -\(\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\)

Ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}+2\right)^2\ge4\) với mọi x\(\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\le\dfrac{1}{4}\) với mọi x\(\ge0\)

\(\Rightarrow1-\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\le1-\dfrac{1}{4}\) với mọi x\(\ge0\)

\(\Rightarrow1-\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\le\dfrac{3}{4}\) với mọi x\(\ge0\)

x²-2(m+2)x+m+1=0 (1)

a/ Xét phương trình (1) có \(\Delta\)=4(m+2)² - 4.1.(m+1)

= 4m²+12m+12

= (2m+3)² + 3 >0 với mọi m

Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+2\right)\\x_1.x_2=m+1\end{matrix}\right.\)

Ta có: x₁,x₂ trái dấu \(\Leftrightarrow\) x₁.x₂<0 \(\Leftrightarrow\) m+1<0 \(\Leftrightarrow\) m<-1

Vậy để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì m<-1

b/ Theo đề bài ta có:

x₁(1-2x₂) +x₂(1-2x₁)=m²

\(\Rightarrow\) x₁-2x₁x₂+x₂-2x₁x₂=m²

\(\Rightarrow\)(x₁+x₂)-4x₁x_2=m²

\(\Leftrightarrow\)2m+4-4(m+1)=m²

\(\Leftrightarrow\)-m²-2m=0

\(\Leftrightarrow-m\left(m+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m=0\\m+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy để x₁(1-2x₂)+x₂(1-2x₁)=m² thì m=0 hoặc m=-2

\(4.16^5.32=2^2.2^{20}.2^5=2^{27}\)

\(72^4.81^{10}=2^{12}.3^8.3^{40}=2^{12}.3^{48}=2^{12}.\left(3^4\right)^{12}=2^{12}.81^{12}=243^{12}\)

Vì đồ thị hàm số y=ax+b đi qua điểm(\(\sqrt{2}\) ; 4) và (2;\(\sqrt{2}\)) nên ta có hệ phương trình:\(\left\{{}\begin{matrix}4=\sqrt{2}a+b\\\sqrt{2}=2a+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4\sqrt{2}=2a+\sqrt{2}b\\\sqrt{2}=2a+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}-1\right)b\\\sqrt{2}=2a+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\\\sqrt{2}=2a+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=6+3\sqrt{2}\\\sqrt{2}=2a+6+3\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=6+3\sqrt{2}\\a=-3-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)Vậy a=-3-\(\sqrt{2}\) và b=6+3\(\sqrt{2}\)

Gọi phương trình đường thẳng (d) là y=ax+b (a\(\ne\)0)

Vì (d) có hệ số góc là 2 nên (d) có dạng: y= 2x+b

Hoành độ giao điểm của (p) và (d) thỏa mãn phương trình:

ax² = 2x+b

\(\Leftrightarrow\)ax²-2x-b=0 (1)

Theo đề bài: (p) và (d) giao nhau tại 1 điểm duy nhất nên phương trình (1) có nghiệm kép x₁=x₂=\(\dfrac{2}{2a}\) \(\Leftrightarrow\) 2=\(\dfrac{2}{2a}\) \(\Rightarrow\)a=\(\dfrac{1}{2}\)

Thay a=\(\dfrac{1}{2}\) và x=2 vào y=ax² ta được:

y=\(\dfrac{1}{2}.2^2=2\)

Vậy tung độ của A là 2