Gọi x(h) là thời gian tổ I làm riêng để xong công việc

y(h) là thời gian tổ II làm riêng để xong công việc

đk: x,y>15

\(\dfrac{1}{x}\) (công việc) là phần công việc tổ I làm một mình trong 1h

\(\dfrac{1}{y}\)(công việc) là phần công việc tổ II làm một mình trong 1h

Vì 2 tổ làm được \(\dfrac{1}{15}\) công việc nên ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{15}\left(1\right)\)

\(\dfrac{3}{x}\)(công việc) là phần công việc tổ I làm một mình trong 3h

\(\dfrac{5}{y}\) (công việc) là phần công việc tổ II làm một mình trong 5h

Vì nếu tổ I làm trong 3h, tổ II làm trong 5h thì được 25%(hay 1/4) công việc nên ta có phương trình:

\(\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{y}=\dfrac{1}{4}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{15}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{1}{5}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-2}{y}=\dfrac{-1}{20}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=40\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{40}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=40\\x=24\end{matrix}\right.\) (tmđk)

Vậy tổ I làm riêng thì mất 24 h thì xong công việc

tổ II làm riêng thì mất 40 h thì xong công việc

Phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ thức có dạng: ax+by=c ( Với a,b,c là các số cho trước và \(a\ne b\) hoặc \(b\ne0\) )

Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm:

-Nếu \(a\ne0,b\ne0\) thì công thức nghiệm là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=\dfrac{c-ax}{b}\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{c-by}{a}\\y\in R\end{matrix}\right.\)

-Nếu a=0,\(b\ne0\) thì công thức nghiệm là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=\dfrac{c}{b}\end{matrix}\right.\)

-Nếu \(a\ne0,b=0\) thì công thức nghiệm là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{c}{a}\\y\in R\end{matrix}\right.\)

\(\left[\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\right].\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)

\(=\left[\dfrac{\sqrt{b}.\sqrt{b}-\sqrt{a}.\sqrt{a}}{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\right].\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)

=\(\left[\dfrac{b-a}{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\right].\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)

\(=\dfrac{\left(b-a\right).\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)

=b-a

Ta có: OH là bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông

OA là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông

Vì trong hình vuông, 2 đường chéo đồng thời là tia phân giác

\(\Rightarrow\) OA là tia phân giác của \(\widehat{A}\)

\(\Rightarrow\widehat{HAO}=45^o\)

Xét \(\Delta HAO\) vuông tại H có \(\widehat{HAO}=45^o\)

\(\Rightarrow\Delta HAO\) vuông cân tại H

\(\Rightarrow HA=HO\)

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

\(OA^2=HA^2+HO^2\)

\(\Leftrightarrow OA^2=2OH^2\)

\(\Rightarrow OA=OH\sqrt{2}\)

Ta có:

Diện tích đường tròn nội tiếp hình vuông là \(S_1=\pi.OH^2\) (đơn vị diện tích) (1)

Diện tích đường tròn ngoại tiếp hình vuông là \(S_2=\pi.OA^2\)

mà \(OA=OH\sqrt{2}\) \(\Rightarrow S_2=\pi.2.OH^2\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) Diện tích đường tròn ngoại tiếp hình vuông bằng 2 lần diện tích đường tròn nội tiếp hình vuông đó

Gọi x(km/h) là vận tốc của xe đi từ A (đk: x>0)

2(x+15) (km/h) là vận tốc của xe đi từ B

2x(km) là quãng đường xe đi từ A đi trong 2h

2.2(x+15)=4(x+15) (km) là quãng đường xe đi từ B đi trong 2h

Vì 2 xe đi ngược chiều nhau và quãng đường AB dài 150km nên ta có phương trình:

2x+4(x+15)=150

\(\Leftrightarrow2x+4x+60=150\)

\(\Leftrightarrow6x=90\Leftrightarrow x=15\left(tmđk\right)\)

Vậy vận tốc của xe đi từ A là 15km/h

Phương trình: \(x^2-\left(5m-1\right)x+6m^2-2m=0\left(1\right)\)

Xét phương trình (1) có: \(\Delta=\left(1-5m\right)^2-4\left(6m^2-2m\right)\)

= \(m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\)

Ta luôn có: \(\left(m-1\right)^2\ge0\) với mọi m

\(\Rightarrow\Delta\ge0\) với mọi m

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b/ Xét phương trình (1), áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5m-1\\x_1.x_2=6m^2-2m\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:

\(x_1^2+x_2^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(5m-1\right)^2-2\left(6m^2-2m\right)=1\)

\(\Leftrightarrow25m^2-10m+1-12m^2+4m-1=0\)

\(\Leftrightarrow13m^2-6m=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(13m-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\13m-6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\dfrac{6}{13}\end{matrix}\right.\)

Vậy để \(x_1^2+x_2^2=1\) thì m=0 hoặc m=\(\dfrac{6}{13}\)

a/ Thay m=-1 vào hệ phương trình ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}-2y+x=2\\2x+y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2y+x=2\\4x+2y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}5x=0\\4x+2y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-1\end{matrix}\right.\)Vậy khi m=-1 thì hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(0;-1)

b/ Ta có:

ds\(\left\{{}\begin{matrix}-2y+x=m+3\\2x+y=2m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2y+x=m+3\\4x+2y=4m+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}5x=5m+5\\4x+2y=4m+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x=m+1\\4\left(m+1\right)+2y=4m+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x=m+1\\y=-1\end{matrix}\right.\)Thay x=m+1 và y=-1 vào P= \(x^2+xy\) ta được:

P=\(\left(m+1\right)^2+\left(m+1\right).\left(-1\right)\)

=\(m^2+m\)

=\(m^2+m+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\)

=\(\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)

Ta luôn có: \(\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) với mọi m

\(\Rightarrow\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\ge-\dfrac{1}{4}\) với mọi m

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow m+\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

Vậy P=x²+xy đạt giá trị nhỏ nhất là \(-\dfrac{1}{4}\) khi m=\(-\dfrac{1}{2}\)

Gọi x(h) là thời gian vòi 1 chảy 1 mình đầy bể

y(h) là thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể

đk: x,y>16

\(\dfrac{1}{x}\)(bể) là phần bể mà vòi 1 chảy 1 mình trong 1h

\(\dfrac{1}{y}\) (bể) là phần bể mà vòi 2 chảy 1 mình trong 1h

Vì hai vòi cùng chảy thì 16h sẽ đầy bể nên ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{16}\) (1)

\(\dfrac{3}{x}\) (bể) là phần bể mà vòi 1 chảy 1 mình trong 3h

\(\dfrac{6}{y}\) (bể) là phần bể mà vòi 2 chảy 1 mình trong 6h

Vì nếu vòi 1 chảy 3h, vòi 2 chảy 6h thì được 25%\(\left(\dfrac{1}{4}\right)\) bể nên ta có phương trình:

\(\dfrac{3}{x}+\dfrac{6}{y}=\dfrac{1}{4}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{16}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{6}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{3}{16}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{6}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-3}{y}=\dfrac{-1}{16}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{6}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=48\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{6}{48}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=48\\x=24\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\)

Vậy vòi 1 chảy 1 mình trong 24h thì đầy bể; vòi 2 chảy 1 mình trong 48h thì đầy bể

Câu 1: \(x^2-\left(2-3m\right)x+m\left(m-3\right)=0\left(1\right)\)

Xét phương trình (1),áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-3\left(2\right)\\x_1.x_2=m\left(m-3\right)\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có: \(2x_1-x_2=4\left(4\right)\)

Từ (2) và (4) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-3\\2x_1-x_2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_1=2m-1\\2x_1-x_2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m-1}{3}\\2.\left(\dfrac{2m-1}{3}\right)-x_2=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m-1}{3}\\3x_2=4m-10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m-1}{3}\\x_2=\dfrac{4m-10}{3}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1,x_2\) vào (3) ta được:

\(\dfrac{\left(2m+1\right)\left(4m-10\right)}{9}=m^2-3m\)

\(\Leftrightarrow8m^2-20m+4m-10=9m^2-27m\)

\(\Leftrightarrow m^2-11m+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-10\right)\left(m-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-10=0\\m-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=10\\m=1\end{matrix}\right.\)

Vậy để phương trình \(x^2-\left(2m-3\right)x+m\left(m-3\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn đk \(2x_1-x_2=4\) thì m=10 hoặc m=1

Đoạn 1=1/3 cuộn dây.Đoạn 2=1/4 cuộn dây.Đoạn 3=1/4 cuộn dây.

Vậy 3 đoạn 1,2,3 chiếm số phần cuộn dây:

1/3+1/4+1/5=47/60 (cuộn dây)

Vậy đoạn 4 chiếm số phần đoạn dây:

1- 47/60=13/60

Độ dài cuộn dây :

19.5 : 13 X 60 =90(m)

ĐS:90 m