a/ Khi \(m=5\Leftrightarrow\left(d\right):y=6x-5\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(d\right);\left(P\right)\) là :

\(x^2=6x-5\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}M\left(5;25\right)\\N\left(1,1\right)\end{matrix}\right.\) là giao điểm của \(\left(P\right)\) và \(\left(d\right)\) khi \(m=5\)

b/ Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(P\right);\left(d\right)\) là :

\(x^2=\left(m+1\right)x-m\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(m+1\right)+m=0\)

\(\Delta=\left(m+1\right)^2-4m=m^2-2m+1=\left(m+1\right)^2\ge0\)

Để pt có 2 nghiệm pb \(\Leftrightarrow m\ne-1\)

Ta có :

\(y_1-y_2=4\)

\(\Leftrightarrow x_1^2-x_2^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)=4\)

Theo định lí Viet ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+1\\x_1.x_2=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x_1-x_2=\dfrac{4}{m+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\dfrac{16}{\left(m+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-2x_1.x_2=\dfrac{16}{\left(m+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1.x_2=\dfrac{16}{\left(m+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-4m=\dfrac{16}{\left(m+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2.\left(m+1\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-1\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow m^2-1=\pm4\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2=3\\m^2=-3\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m=\pm\sqrt{3}\)

Vậy..

Xét pt :

\(x^2-2\left(k+2\right)x+k^2+2k-7=0\)

\(\Delta'=\left(k+2\right)^2-\left(k^2+2k-7\right)\)

\(=k^2+4k+4-k^2-2k+7\)

\(=2k+11\)

Để phương trình có 2 nghiệm pb \(\Leftrightarrow k>-\dfrac{11}{2}\)

Theo định lí Viet ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(k+2\right)\\x_1.x_2=k^2+2k-7\end{matrix}\right.\)

Ta có :

\(x_1^2+x_2^2=x_1.x_2+28\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2=3x_1.x_2+28\)

\(\Leftrightarrow4\left(k+2\right)^2=3\left(k^2+2k-7\right)+28\)

Tự giải hết pt tìm k nhé :> Buồn ngủ quá ~

Xét pt :

\(x^2+2x-3=0\)

Theo định lí Viet ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1.x_2=-3\end{matrix}\right.\)

a/ \(A=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1.x_2}=\dfrac{2}{3}\)

b/ \(B=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2=2^2+2.3=10\)

c/ \(C=\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2.x_2^2}=\dfrac{10}{9}\)

d/ \(D=x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1.x_2+x_2^2\right)=\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1.x_2\right]=-26\)

a/ Xét pt : \(x^2-2\left(m-1\right)x-3-m=0\)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+\left(m+3\right)=m^2-m+5>0\forall m\)

\(\Leftrightarrow\) Pt luôn có nghiệm

b/ Xét pt :

\(x^2+\left(m+1\right)x+m=0\)

\(\Delta=\left(m+1\right)^2-4m=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0\forall m\)

\(\Leftrightarrow\) Pt luôn có nghiệm

c/ Xét pt : \(x^2-\left(2m-3\right)x+m^2-2m=0\)

\(\Delta=\left(2m-3\right)^2-\left(m^2-3m\right)=4m^2-12m+9-m^2+3m=3m^2-9m+9=3\left(m^2-3m+3\right)>0\forall m\)

\(\Leftrightarrow\) pt luôn có nghiệm

d/ Xét pt : \(x^2+2\left(m+2\right)x-4m-12=0\)

 \(\Delta'=\left(m+2\right)^2+\left(4m+12\right)=m^2+8m+16=\left(m+4\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) Pt luôn có nghiệm 

a/ \(P=10m=200\left(N\right)\)

Dùng ròng rọc động ta được lợi 2 lần về lực, thiệt 2 lần về đường đi

\(F=\dfrac{1}{2}P=100\left(N\right)\)

b/ \(h=2s=4\left(m\right)\)

ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x\ne4\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(\dfrac{3\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}\right):\dfrac{\sqrt{x}+13}{x+6\sqrt{x}+9}\)

\(=\left(\dfrac{3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}\right):\dfrac{\sqrt{x}+13}{\left(\sqrt{x}+3\right)^2}\)

\(=\dfrac{3\sqrt{x}+9-2\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}.\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)^2}{\sqrt{x}+13}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+13}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}.\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)^2}{\sqrt{x}+13}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}\)

Vậy...

a/ Xét pt : \(x^2-\left(2m+3\right)x+m^2+3m+2=0\)

\(\Delta=\left(2m+3\right)^2-4\left(m^2+3m+2\right)\)

\(=4m^2+12m+9-4m^2-12m-8\)

\(=1>0\forall m\)

\(\Leftrightarrow\) Pt luôn có 2 nghiệm pb

b/ Xét pt :

\(x^2-2x-\left(m-1\right)\left(m-3\right)=0\)

\(\Delta'=1^2+\left(m-1\right)\left(m-3\right)\)

\(=1+m^2-4m+3\)

\(=\left(m-2\right)^2>0\forall m\)

\(\Leftrightarrow\) Pt luôn có nghiệm 

c/ Xét pt : \(x^2-2mx-m^2-1=0\)

\(\Delta'=m^2+\left(m^2+1\right)=2m^2+1>0\forall m\)

\(\Leftrightarrow Pt\) luôn có nghiệm

d/ Xét pt :

\(\Delta'=\left(2m-1\right)^2-\left(m+1\right)\left(m-3\right)=4m^2-4m+1-m^2+2m+3=3m^2-2m+4>0\forall m\)

\(\Leftrightarrow\) Pt luôn có nghiệm