a) Xét hai tam giác vuông OAI và OBI ta có:

OI là cạnh chung

góc AOI = góc BOI (gt)

Vậy \(\Delta OAI=\Delta OBI\) (cạnh huyền-góc nhọn) (1)

Từ (1) \(\Rightarrow IA=IB\) (2 cạnh tương ứng) (2)

b) Theo định lí Py-ta-go ta có:

OA² + AI² = OI²

OA² + 6² = 10²

OA² = 10² - 6²

OA² = 64

OA = 8

Vậy OA = 8 cm

c) Xét hai tam giác vuông AIK và BIM ta có:

IA = IB (2)

góc AIK = góc BIM (2 góc đối đỉnh)

Vậy \(\Delta AIK=\Delta BIM\) (cạnh góc vuông-góc nhọn) (3)

Từ (3) \(\Rightarrow AK=BM\) (2 cạnh tương ứng) (4)

d) Từ (1) \(\Rightarrow OA=OB\) (2 cạnh tương ứng)

AK = BM (4)

\(\Rightarrow OK=OM\)(5)

Xét \(\Delta OKC\) và \(\Delta OMC\) ta có:

OK =OM (5)

góc KOC = góc MOC (gt) (6)

OC là cạnh chung (7)

Từ (5),(6),(7) \(\Rightarrow\Delta OKC=\Delta OMC\) (C-G-C) (8)

Từ (8) \(\Rightarrow\) góc ICK = góc ICM (2 góc tương ứng)

góc ICK + góc ICM = 180⁰ (2 góc kề bù)

\(\Rightarrow OC\perp MK\)

a) Ta có:

MP chung

MI = PK (gt) (1)

\(\Rightarrow PI=MK\)(2)

Xét \(\Delta PNI\) và \(\Delta MNK\) ta có:

PI = MK (2)

góc IPN = góc KMN (gt) (3)

PN = MN (gt) (4)

Từ (2),(3),(4) \(\Rightarrow\Delta PNI=\Delta MNK\) (C-G-C) (5)

Từ (5) \(\Rightarrow NI=NK\)(2 cạnh tương ứng) (6)

Xét \(\Delta NMI\) và \(\Delta NPK\) ta có:

MI = PK (gt) (1)

PN = MN (gt) (4)

NI = NK (6)

Từ (1),(4),(6) \(\Rightarrow\Delta NMI=\Delta NPK\)(C-C-C)

b) Xét hai tam giác vuông NHM và NHP ta có:

PN = MN (gt) (4)

góc NMH = góc NPH

Vậy \(\Delta NHM=\Delta NHP\) (cạnh huyền-góc nhọn)

c) Ta có : NI = NK (2 cạnh tương ứng) (6)

\(\Rightarrow\Delta NIK\) là tam giác cân

a) Xét hai tam giác vuông DAB và DAC ta có:

AB = AC (gt)

góc ABD = góc ACD (gt)

vậy \(\Delta DAB=\Delta DAC\) (cạnh huyền-góc nhọn) (1)

b) Từ (1) \(\Rightarrow\) góc BAD = góc CAD (2 góc tương ứng) (2)

Xét hai tam giác vuông AND và AMD ta có:

AD là cạnh huyền chung

góc BAD = góc CAD (2)

Vậy \(\Delta AND=\Delta AMD\) (cạnh huyền-góc nhọn) (3)

Từ (3) \(\Rightarrow DN=DM\) (2 cạnh tương ứng)

nên \(\Delta DMN\) là tam giác cân

c) Gọi I là giao điểm của AD và MN

Từ (3) \(\Rightarrow AM=AN\)(2 cạnh tương ứng) (4)

Xét \(\Delta ANI\) và \(\Delta AMI\) ta có:

AM = AN (4)

góc BAD = góc CAD (2)

AI là cạnh chung (5)

Từ (4),(2),(5) \(\Delta ANI=\Delta AMI\) (C-G-C) (6)

Từ (6) \(\Rightarrow\) góc AIN = góc AIM (2 góc tương ứng)

góc AIN + góc AIM = 180⁰ (2 góc kề bù)

\(\Rightarrow AD\perp EF\)

và AD \(\perp BC\)

nên EF // BC

a) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) ta có:

AB = AC (gt) (1)

góc BAM = góc CAM (gt) (2)

AM là cạnh chung (3)

Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta AMC\) (C-G-C)

b) Xét hai tam giác vuông AHM và AKM ta có:

AM là cạnh huyền chung (3)

góc BAM = góc CAM (gt) (2)

Vậy \(\Delta AHM=\Delta AKM\) (cạnh huyền-góc nhọn) (4)

c) Từ (4) \(\Rightarrow AH=AK\) (2 cạnh tương ứng) (5)

d) Gọi I là giao điểm của HK và AM

Xét \(\Delta AHI\) và \(\Delta AKI\) ta có:

AH = AK (5)

góc BAM = góc CAM (gt) (2)

AI là cạnh chung (6)

Từ (5),(2),(6) \(\Rightarrow\Delta AHI=\Delta AKI\) (C-G-C) (7)

Từ (7) \(\Rightarrow\)góc AIH = góc AIK (2 góc tương ứng)

góc AIH + góc AIK = 180⁰ (2 góc kề bù)

\(\Rightarrow HK\perp AM\)

a) Xét 2 tam giác vuông ABH và ACH ta có:

AB = AC (gt)

góc ABH = góc ACH (gt)

Vậy \(\Delta ABH=\Delta ACH\) (cạnh huyền-góc nhọn) (1)

Từ (1) \(\Rightarrow\) góc BAH = góc CAH (2 góc tương ứng)

b) Từ (1) \(\Rightarrow HB=HC\) (2 cạnh tương ứng)

Ta có: HB = HC = \(\frac{BC}{2}\)= 8 : 2 = 4 cm

Theo định lí Pytago ta có:

\(AH^2+HC^2=AC^2\)

AC\(^2\) = 3\(^2+4^{^{ }2}\)

AC\(^2\) = 25

AC = 5 cm

Từ (1) \(\Rightarrow\) góc BAH = góc CAH (2 góc tương ứng) (2)

c) Xét 2 tam giác vuông AEH và ADH ta có:

AH là cạnh chung

góc BAH = góc CAH (2)

Vậy \(\Delta AEH=\Delta ACH\) (cạnh huyền-góc nhọn) (3)

Từ (3) \(\Rightarrow AE=AD\) (2 cạnh tương ứng)

d) Xet

a) Ta có : \(AB\perp AC\) (gt)

\(HK\perp AC\) (gt)

\(\Rightarrow AB\) // HK

b) Xét hai tam giác vuông IAH và KAH ta có :

HI = HK (gt)

AH là cạnh chung Vậy \(\Delta IAH=\Delta KAH\) (Cạnh góc vuông_Cạnh góc vuông) (1)

Từ (1) \(\Rightarrow\) góc AIH = góc AKH (2 góc tương ứng) (2)

Từ (2) \(\Rightarrow\) \(\Delta AIK\) là tam giác cân

d) Từ (1) \(\Rightarrow\) AK =AI (2 cạnh tương ứng) (3)

góc IAH = góc KAH (2 góc tương ứng) (4)

Xét \(\Delta AIC\) và \(\Delta AKC\) ta có:

AK = AI (3)

góc IAH = góc KAH (4)

AC là cạnh chung (5)

Từ (3),(4),(5) \(\Rightarrow\) \(\Delta AIC=\Delta AKC\) (C-G-C)

Ta có : AD = BE = FC (gt)

mà AB = BC = AC ( tính chất 3 cạnh bằng nhau của tam giác đều )

=> BD = EC = AF (1)

Xét 3 tam giác BDE, CFE và ADF ta có :

AD = BE = FC (gt)

góc A = góc B = góc C (gt)

BD = EC = AF (1)

=> tam giác BDE = tam giác CFE = tam giác ADF (C-G-C) (2)

Từ (2) => DE = EF = DF nên tam giác DEF là tam giác đều