\(=99...9000...0+400..0+9\)

\(=999...9.10^{12}+4.10^{11}+9\)

\(=\left(10^{10}-1\right).10^{12}+4.10^{11}+9\)

\(=10^{22}-10^{12}+4.10^{11}+9\)

\(=10^{22}-6.10^{11}+9\)

\(=\left(10^{11}-3\right)^2\)

mở rộng : chứng minh

\(\left(\sqrt{2}-1\right)^n=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)

Đặt \(2^x=a\Rightarrow4^x=a^2\)(a>0)

\(PT\Leftrightarrow\left(a-8\right)^3+\left(a^2+13\right)^3=\left(a^2+a+5\right)^3\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-8=X\\a^2+13=Y\end{matrix}\right.\)(Y>0)

\(PT\Leftrightarrow X^3+Y^3=\left(X+Y\right)^3\Leftrightarrow3XY\left(X+Y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}X=0\\Y=0\\X+Y=0\end{matrix}\right.\)

(*) \(X=0\Leftrightarrow a-8=0\Leftrightarrow a=8\Leftrightarrow2^x=8\Leftrightarrow x=3\)

(*) Y=0( Loại )

(*) \(X+Y=0\Leftrightarrow a^2+a+5=0\)( vô nghiệm)

Vậy PT có nghiệm duy nhất x=3

\(PT\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2+\left(\sqrt{3x+10}-1\right)^2=0\)

Thay a=b+1 vào P:

\(\dfrac{\left(b+1\right)^2+b^2}{b}=\dfrac{2b^2+2b+1}{b}=2b+\dfrac{1}{b}+2\)

Áp dụng AM-GM:\(2b+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{2}\)

do đó \(P\ge2+2\sqrt{2}\)

Dấu = xảy ra khi ...

Hành vi tự ý bắt và giam, giữ người vì những lí do không chính đáng hoặc do nghi ngờ không có căn cứ là hành vi xâm phạm quyền nào dưới đây của công dân?

A. Quyền bất khả xâm phạm về thân thể

B. Quyền được pháp luật bảo hộ về tính mạng

C. Quyền tự do dân chủ

D. Quyền được bảo đảm trật tự và an toàn xã hội

e có 1 cách ngoài liên hợp cho câu b, rất đơn giản( nhưng dễ nhầm ) , đó là lập phương liên tiếp :v =))

giả sử \(a+b< 7\Leftrightarrow a< 7-b\)

có: \(\left(7-b\right)^2+b^2>a^2+b^2\ge25\)

\(\Leftrightarrow b^2-7b+12>0\Leftrightarrow\left(b-3\right)\left(b-4\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b< 3\\b>4\end{matrix}\right.\)

trường hợp b<3 hiển nhiên trái với giả thiết.

ta xét b > 4.

Lại có: \(a+4< a+b< 7\)( điều giả sử)

\(\Leftrightarrow a< 3\)( vô lý )

Vậy điều giả sử sai , ngược lại \(a+b\ge7\) đúng

\(BĐT\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2\right)\le a^4+b^4\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(đúng)

Áp dụng BĐT \(|a|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\):

\(A=\left|x-2\right|+\left|3-2x\right|+\left|4x-1\right|+\left|10-5x\right|\)

\(\ge\left|1-x\right|+\left|x-9\right|\ge\left|-8\right|=8\)

Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)\left(3-2x\right)\ge0\\\left(4x-1\right)\left(10-5x\right)\ge0\\\left(1-x\right)\left(x-9\right)\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}\le x\le2\)