Đọc bài sau và trả lời câu hỏi:

Cục nước đá

    Mưa đá. Một cục nước đá trắng tinh, to lông lốc như một quả trứng gà rơi bộp xuống đất. Dòng nước dang rộng tay nói:
    - Chào bạn! Mời bạn nhập vào với chúng tôi!
    Cục nước đá nhìn dòng nước, lạnh lùng đáp:
    - Các anh đục ngầu, bẩn thỉu như thế, tôi hòa nhập với các anh sao được? Trời cao kia mới là bạn của tôi!
    Dòng nước cười xòa rồi ào ào chảy ra sông, ra biển. Cục nước đá nằm trơ lại một mình, lát sau thì tan ra, ướt nhoẹt ở một góc sân.

(Theo Dương Văn Thoa)

c. Số phận của cục nước đá sau đó ra sao?

Số bị chia giảm 15 lần, số chia giữ nguyên thì thương giảm đi 15 lần

Vậy thương ban đầu là: 250 x 15 = 3750

ĐS:...

\(\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n=A+B\sqrt{5}+A-B\sqrt{5}=2A\in Z\)

Vì abc=1 nên tồn tại x,y,z sao cho \(a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}\)

\(VT=\sum\dfrac{a}{ab+1}=\sum\dfrac{\dfrac{x}{y}}{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}+1}=\sum\dfrac{xz}{xy+yz}\)

Đổi \(\left(xy;yz;zx\right)=\left(m,n,p\right)\)thì \(VT=\sum\dfrac{m}{n+p}\ge\dfrac{3}{2}\left(BĐT-Nesbit\right)\)( đpcm)

Dấu = xảy ra khi m=n=p hay x=y=z hay a=b=c=1.

BĐT\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^3\le2\left(x^3+y^3\right)^2\)( đúng theo BĐT holder)

Hay AM-GM:

\(\dfrac{x^3}{x^3+y^3}+\dfrac{x^3}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^6}{2\left(x^3+y^3\right)^2}}=\dfrac{3x^2}{\sqrt[3]{2\left(x^3+y^3\right)^2}}\)

\(\dfrac{y^3}{x^3+y^3}+\dfrac{y^3}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{3y^2}{\sqrt[3]{2\left(x^3+y^3\right)^2}}\)

Cộng theo vế:

\(3\ge\dfrac{3\left(x^2+y^2\right)}{\sqrt[3]{2\left(x^3+y^3\right)^2}}\Leftrightarrow2\left(x^3+y^3\right)^2\ge\left(x^2+y^2\right)^3\)

Dấu = xảy ra khi x=y

Use That : \(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{1+ab};\forall a,b\ge1\)

Phân số chỉ số hàng nhập vào  là: \(\frac{4}{3}.\frac{3}{7}=\frac{4}{7}\) số hàng ban đầu trong kho

Phân số chỉ số hàng tăng thêm là: \(\frac{4}{7}-\frac{3}{7}=\frac{1}{7}\) số hàng ban đầu trong kho; bằng 101 tấn

Số hàng ban đầu trong kho là: 101 : \(\frac{1}{7}\) = 707 tấn

ĐS:...

set \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c=x\\b+c-a=y\\c+a-b=z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x+y+z=3\)

\(VT=\sum\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{4x}}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}.\left(\sum\dfrac{1}{\sqrt{4x\left(y+z\right)}}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\dfrac{1}{\sqrt{4x\left(y+z\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{4y\left(x+z\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{4z\left(x+y\right)}}\ge\dfrac{9}{2\left(\sqrt{xy+xz}+\sqrt{yz+yx}+\sqrt{xz+zy}\right)}\)

Áp dụng BĐT bunyakovsky:

\(\sum\sqrt{xy+yz}\le\sqrt{6\left(xy+yz+xz\right)}\)

\(\Rightarrow\sum\dfrac{1}{2\sqrt{x\left(y+z\right)}}\ge\dfrac{9}{2\sqrt{6\left(xy+yz+xz\right)}}\)

Mà \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)=\dfrac{8}{3}\left(xy+yz+xz\right)\)(*)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{\dfrac{8}{3}\left(xy+yz+xz\right)}.\dfrac{9}{2\sqrt{6\left(xy+yz+xz\right)}}=3\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z hay a=b=c=1

(*) Prove BĐT \(\left(m+n\right)\left(n+p\right)\left(m+p\right)\ge\dfrac{8}{9}\left(m+n+p\right)\left(mn+np+pm\right)\)

khai triển ,để ý rằng \(\left(m+n\right)\left(n+p\right)\left(p+m\right)=\left(m+n+p\right)\left(mn+np+pm\right)-mnp\)

Em xin phép khởi động với câu e :

e) 1+1=2