Theo giả thiết suy ra các tích x₁x₂ , x₂x₃ , ...., x_nx₁ chỉ nhận một trong hai giá trị là 1 và -1

Do đó x₁x₂ + x₂x₃ +...+ x_nx₁ = 0 <=> n = 2m

=> Đồng thời có m số hạng bằng 1 và m số hạng bằng -1

Nhận thấy : (x₁x₂)(x₂x₃)...(x_nx₁) = x₁²x₂²...x_n² = 1

=> Số các số hạng bằng -1 phải là số chẵn

=> m = 2k

Suy ra n = 2m = 2.2k = 4k

=> n chia hết cho 4

Từ C kẻ CK // AN (1) ( K thuộc BD)

Vì AD // BC (2) nên góc ADM = góc KBC

 Từ (1) và (2) suy ra góc DAM = góc KCB

ABCD là hình bình hành => AD = BC

Suy ra được tam giác ADM = tam giác KBC (g.c.g)

=> AM = CK

Dễ dàng chứng minh được MI là đường trung bình tam giác DKC => DM = MK mà DM = KB => MK = KB

Lại có CK // MN => KC là đường trung bình tam giác BMN

=> MN = 2KC  hay MN = 2AM

a/ Ta có : \(\begin{cases}AM=MC\\AN=NB\end{cases}\) => MN là đường trung bình tam giác ABC => MN // BC và MN = BC/2 (1)

Lại có : BG = 2GM mà GP = GM => BP = PG 

Tương tự : GQ = QC => PQ là đường trung bình tam giác BGC => PQ // BC và PQ = BC/2 (2)

Từ (1) và (2) ta có MN // PQ và MN = PQ 

=> MNPQ là hình bình hành (dhnb)

b/ Nếu tam giác ABC cân tại A thì AG vuông góc với BC

=> PN vuông góc với BC . Mặt khác PQ // BC

=> PN vuông góc với PQ mà MNPQ là hình bình hành (cmt)

lại có một góc bằng 90 độ => MNPQ là hình chữ nhật

1/ Từ B kẻ BH vuông góc với CD tại H

Dễ thấy tam giác BDC cân tại B vì DH = HC

Mà góc C = 45 độ => Tam giác BDC vuông cân

2/ Dễ dàng chứng minh được ABHD là hình vuông

=> BD là tia phân giác góc D

3/ \(S_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right).AD=\frac{1}{2}\left(2+4\right).2=8\left(cm^2\right)\)

Gọi E là trung điểm AD. Ta có ME là đường trung bình của hình thang ABCD => ME // CD // AB

Suy ra góc MDC = góc MDE = góc DME (so le trong)

=> Tam giác DEM cân tại E => ME = DE = AE

=> Tam giác AEM cân tại E => góc EAM = góc EMA (1)

mà EM // AB => Góc AME = góc BAM (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc EAM = góc BAM

=> AM là tia phân giác góc A (đpcm)

/hoi-dap/question/85657.html

Theo tính chất đường trung tuyến tính được BO = 6 , ON = 3

AO = 4 , OM = 2

=> Tam giác BOM cân tại B vì có BO = BM = 6

Suy ra : \(cosOMB=\frac{OM^2+BM^2-OB^2}{2OM.BM}=\frac{2^2+6^2-6^2}{2.2.6}=\frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{AM^2+MB^2-2AM.MB.cos\widehat{OMB}}=\sqrt{6^2+6^2-2.6.6.\frac{1}{6}}=2\sqrt{15}\)

Vì tam giác ABC vuông tại A và có đường trung tuyến AM nên

BC = 2AM = 12  

Từ O kẻ OM vuông góc với CD tại M

Ta có : \(\begin{cases}AE\text{//}MO\text{//}BF\\AO=OB\end{cases}\) => OM là đường trung bình của hình thang ABFE => ME = MF (1)

Mặt khác, OM vuông góc với dây cung CD nên M là trung điểm dây CD => MC = MD (2)

Từ (1) và (2) suy ra CE = DF (đpcm)

1. Vì ABCD là hình thang và AB // CD nên góc A + góc D = góc B + góc C = 180 độ

2. Ta có : \(\begin{cases}\widehat{A}+\widehat{B}=180^o\\\widehat{A}=3\widehat{B}\end{cases}\) \(\Rightarrow4\widehat{B}=180^o\Rightarrow\widehat{B}=45^o\Rightarrow\widehat{A}=45^o.3=135^o\)

\(\begin{cases}\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\\\widehat{B}=\widehat{C}\end{cases}\) \(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180^o}{2}=90^o\)

3. Đường cao hình thang chính bằng cạnh BC = 3 cm

\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right).BC=\frac{1}{2}.\left(4+\sqrt{2}\right).3=\frac{12+3\sqrt{2}}{2}\) (cm²)

Gọi hình bình hành đó là ABCD , từ A kẻ đường cao AH xuống cạnh CD (H thuộc CD)

Ta có : \(AH=AD.sinD\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=CD.AH=CD.AD.sinD\)

Vậy ta có điều phải chứng minh