Có: cos 2A + 2√2.cos B + 2√2.cos C = 3
⇔2cos²A - 1 + 2√2.2.cos[(B + C)/2] . cos[(B - C)/2] - 3 = 0
⇔2cos²A + 4√2.sin (A/2) . cos[(B - C)/2] - 4 = 0(1)
Ta thấy: sin(A/2) > 0 ; cos[(B - C)/2] ≤ 1
⇒VT ≤ 2cos²A + 4√2.sin(A/2) - 4
Vì tam giác ABC không tù nên 0 ≤ cos A < 1
⇒cos²A ≤ cos A
⇒VT ≤ 2cos A + 4√2.sin(A/2) - 4
⇒VT ≤ 2.[1 - 2.(sin A/2)²] + 4√2.sin(A/2) - 4
⇒VT ≤ -4.(sin A/2)² + 4√2.sin(A/2) - 2
⇒VT ≤ -2(√2.sin A/2 - 1)² ≤ 0(2)
Kết hợp (1)(2) thì đẳng thức xảy ra khi tất cả các dấu = ở trên xảy ra
⇔cos [(B - C)/2] = 1 và cos²A = cos A và √2.sin A/2 - 1 = 0
⇔góc B = góc C và cos A = 0 và sin A/2 = 1/√2
⇔ góc B = góc C và góc A = 90 độ
Vậy góc A = 90 độ, góc B = góc C = 45 độ

Ý b có thể hiểu là tìm các gía trị của m để pt có 2 nghiệm pb sao cho \(\dfrac{x_1}{x_2}=3\)

Pt \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x+2}{327}+1\right)+\left(\dfrac{x+3}{326}+1\right)+\left(\dfrac{x+4}{325}+1\right)+\left(\dfrac{x+5}{324}+1\right)+\left(\dfrac{x+349}{5}-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+329}{327}+\dfrac{x+329}{326}+\dfrac{x+329}{325}+\dfrac{x+329}{324}+\dfrac{x+329}{5}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+329\right)\left(\dfrac{1}{327}+...+\dfrac{1}{324}+\dfrac{1}{5}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+329=0\) ( Vì \(\left(\dfrac{1}{327}+...+\dfrac{1}{324}+\dfrac{1}{5}\right)\ne0\) )
<=> x= -329
Vậy x= -329 là giá trị cần tìm

Chỗ trên tử có 2 dấu trừ liền à bạn ?!

Ta có:
\(A=\dfrac{2^3.3^3.\left(2+3\right)}{2^4.3^3.\left(2-1\right)}=\dfrac{5}{2.1}=\dfrac{5}{2}\)

Gọi số tuổi của con là x (tuổi; x nguyên dương)
=> Số tuổi của mẹ là 7x (tuổi)
5 năm nữa số tuổi của con là: x+5 (tuổi)
5 năm nữa số tuổi của mẹ là: 7x+5 (tuổi)
Vì 5 năm nữa tổng số tuổi của 2 mẹ con là 50 nên ta có: x+5 + 7x +5 =50
=> 8x + 10 = 50
=> 8x = 40
=> x= 5
Do đó tuổi con hiện nay là 5 (tuổi)
=> Tuổi mẹ hiện nay là 7.5 = 35 ( tuổi )

\(\dfrac{3-5x}{-4}\le0\)
\(\Leftrightarrow3-5x\ge0\) ( Vì -4 <0 )
\(\Leftrightarrow3\ge5x\)
\(\Leftrightarrow5x\le3\)
\(\Leftrightarrow x\le\dfrac{3}{5}\)

\(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{x^2}{4}=x^2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{13}{12}.x^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có:
\(a+1\ge2\sqrt{a}\)
\(b+1\ge2\sqrt{b}\)
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
Nhân vế theo vế các BĐT cùng chiều trên ta được:
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge16\sqrt{a^2b^2c^2}=16abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=a\\b=c\end{matrix}\right.\)
<=> a = b = c = 1
Vậy \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge16abc\) với a,b,c dương.
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Vậy P = 2