Đặt tích 2 số tự nhiên liên tiếp là \(a\left(a+1\right)=a^2+a\)

Ta sẽ xét xem tích 2 số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 dư bao nhiêu.

TH1: a chia hết cho 3

\(\Rightarrow\)a² chia hết cho 3 và a cũng chia hết cho 3

\(\Rightarrow a^2+a\) chia hết cho 3

\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\) chia hết cho 3

TH2: a chia 3 dư 1 -> a có dạng 3k+1

\(\Rightarrow a^2=\left(3k+1\right)^2=\left(3k+1\right)\left(3k+1\right)=\left(3k+1\right)3k+\left(3k+1\right).1=9k^2+3k+3k+1\)\(=3.\left(3k^2+k+k\right)+1\)

\(\Rightarrow a^2+a=3.\left(3k^2+k+k\right)+1+3k+1=3.\left(3k^2+k+k+k\right)+1+1=3.\left(3k^2+3k\right)+2\)

Thấy \(3.\left(3k^2+3k\right)+2\) chia 3 dư 2

\(\Rightarrow a^2+a\) chia 3 dư 2

\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\) chia 3 dư 2

TH3: a chia 3 dư 2

\(\Rightarrow a^2=\left(3k+2\right)^2=\left(3k+2\right)\left(3k+2\right)=\left(3k+2\right).3k+\left(3k+2\right).2=9k^2+6k+6k+4\)                                                                                                                             \(=3.\left(3k^2+2k+2k\right)+4\)

\(\Rightarrow a^2+a=3.\left(3k^2+2k+2k\right)+4+3k+2=3.\left(3k^2+2k+2k+k\right)+6\)

                                                              \(=3.\left(3k^2+5k\right)+3.2=3.\left(3k^2+5k+2\right)\) chia hết cho 3

Như vậy tích 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 2.

Mà \(\left(-3\right)^{20}+1=3^{20}+1\) chia 3 dư 1

Vậy \(\left(-3\right)^{20}+1\) không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp.

Ấy chọn làm gì tui vẽ hình rồi nhìn vào thử làm, chưa nghĩ ra! -_-

Gọi 2 số đó là a,b \(\left(a,b\in Z\right)\)

Ta có;

\(ab=a-b\)

\(\Rightarrow ab+b-a=0\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)b-a=0\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)b-a-1=0-1=-1\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)b-\left(a+1\right)=-1\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b-1\right)=-1\)

\(\Rightarrow a+1;b-1\inƯ\left(-1\right)=\left\{-1;1\right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy 2 số cần tìm lần lượt là -2;2 hoặc 0;0

Trong phép tính ta thấy có 3 số hạng lặp nhau như 2014x45, 2014x32, 2014x67

Bài này ta có thể áp dụng cách tính là: AxB + AxC - AxD=A x (B+C-D)

Áp dụng:

2014x45 + 2014x32 - 2014x67

=2014x(45+32-67)

=2014x10

=20140