a) Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức 4x−x2+14x - x^2 + 14x−x2+1
Biểu thức này có dạng như sau:
f(x)=−x2+4x+1f(x) = -x^2 + 4x + 1f(x)=−x2+4x+1
Đây là một biểu thức bậc 2, có hình dạng đồ thị parabol ngược (hình chóp úp), tức là có giá trị lớn nhất tại đỉnh.
Bước 1: Tìm tọa độ của đỉnh
Để tìm điểm có giá trị lớn nhất, ta cần tính hoành độ của đỉnh. Công thức tính hoành độ của đỉnh đối với một hàm bậc 2 ax2+bx+cax^2 + bx + cax2+bx+c là:
xđỉnh=−b2ax_{\text{đỉnh}} = \frac{-b}{2a}xđỉnh=2a−b
Trong biểu thức −x2+4x+1-x^2 + 4x + 1−x2+4x+1, ta có:
a=−1a = -1a=−1 (hệ số của x2x^2x2)b=4b = 4b=4 (hệ số của xxx)
Áp dụng công thức:
xđỉnh=−42(−1)=2x_{\text{đỉnh}} = \frac{-4}{2(-1)} = 2xđỉnh=2(−1)−4=2
Vậy hoành độ đỉnh là x=2x = 2x=2.
Bước 2: Tính giá trị tại x=2x = 2x=2
Bây giờ, thay x=2x = 2x=2 vào biểu thức ban đầu f(x)=−x2+4x+1f(x) = -x^2 + 4x + 1f(x)=−x2+4x+1:
f(2)=−(2)2+4(2)+1=−4+8+1=5f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5f(2)=−(2)2+4(2)+1=−4+8+1=5
Kết luận: Giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức 4x−x2+14x - x^2 + 14x−x2+1 là 5.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức x2−2x+y2−4y+6x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6x2−2x+y2−4y+6
Biểu thức này có dạng:
f(x,y)=x2−2x+y2−4y+6f(x, y) = x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6f(x,y)=x2−2x+y2−4y+6
Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta sẽ hoàn thành bình phương để dễ tính toán.
Bước 1: Hoàn thành bình phương đối với x2−2xx^2 - 2xx2−2x
Ta muốn biến đổi x2−2xx^2 - 2xx2−2x thành một bình phương. Để làm điều này, ta làm như sau:
x2−2x=(x−1)2−1x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1x2−2x=(x−1)2−1
Giải thích: Để hoàn thành bình phương, ta thêm và bớt đi 111 (vì (−22)2=1\left( \frac{-2}{2} \right)^2 = 1(2−2)2=1).
Bước 2: Hoàn thành bình phương đối với y2−4yy^2 - 4yy2−4y
Tương tự với y2−4yy^2 - 4yy2−4y, ta làm như sau:
y2−4y=(y−2)2−4y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4y2−4y=(y−2)2−4
Giải thích: Ta thêm và bớt đi 444 (vì (−42)2=4\left( \frac{-4}{2} \right)^2 = 4(2−4)2=4).
Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu
Thay những phần đã hoàn thành bình phương vào biểu thức ban đầu:
x2−2x+y2−4y+6=(x−1)2−1+(y−2)2−4+6x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6 = (x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + 6x2−2x+y2−4y+6=(x−1)2−1+(y−2)2−4+6
Rút gọn:
=(x−1)2+(y−2)2+1= (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1=(x−1)2+(y−2)2+1
Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất
Do (x−1)2≥0(x - 1)^2 \geq 0(x−1)2≥0 và (y−2)2≥0(y - 2)^2 \geq 0(y−2)2≥0 (bình phương luôn không âm), giá trị nhỏ nhất của (x−1)2+(y−2)2+1(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1(x−1)2+(y−2)2+1 là khi cả hai bình phương (x−1)2(x - 1)^2(x−1)2 và (y−2)2(y - 2)^2(y−2)2 đều bằng 0. Điều này xảy ra khi:
x=1vaˋy=2x = 1 \quad \text{và} \quad y = 2x=1vaˋy=2
Bước 5: Tính giá trị tại x=1x = 1x=1 và y=2y = 2y=2
Thay x=1x = 1x=1 và y=2y = 2y=2 vào biểu thức f(x,y)=(x−1)2+(y−2)2+1f(x, y) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1f(x,y)=(x−1)2+(y−2)2+1:
f(1,2)=(1−1)2+(2−2)2+1=0+0+1=1f(1, 2) = (1 - 1)^2 + (2 - 2)^2 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1f(1,2)=(1−1)2+(2−2)2+1=0+0+1=1
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức x2−2x+y2−4y+6x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6x2−2x+y2−4y+6 là 1.
