mình có 1 cách khác nữa:
 vì y ∈ Z nên \(\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\) ∈ Z 
=>x²-x+1⋮x²+x+1=> x²+x+1 -2x ⋮x²+x+1
=>2x⋮x²+x+1 (1)
Xét hiệu (x²+x+1)-2x=(x-\(\dfrac{1}{2}\))²+\(\dfrac{3}{4}\)>0
=>x²+x+1 > 2x (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với 2x và x²+x+1 ∈ Z 
=> 2x =0 => x =0 => y=1 
Vậy phương trình có nghiệm (x,y) là (0,1)

ta biết mọi số lẻ nhân 5 đều có số tận cùng là 5
=> a = 1x3x7x...x2019 x 5 tương ứng là 1 số lẻ nhân 5 và tận cùng là 5
1x3x7x...x2019 là lẻ vì là tích của các số lẻ hay khi phân tích không có thừa số nguyên tố 2

gợi ý: cm bđt (a³+b³+c³)(\(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)+\(\dfrac{1}{c}\))≥(a+b+c)² bằng bđt cộng mẫu (svac-sơ)
từ đó đcm được 9(a³+b³+c³)≥(a+b+c)³
từ đó=> P≥\(\dfrac{\text{(x+y+z)3}}{x+y+z}\)=(x+y+z)²≥(\(\sqrt[3]{xyz}\))²=1
Dấu "=" xảy ra <=>x=y=z=1

Từ x⁸+x⁴y⁴+y⁸=(x⁴+y⁴)²-x⁴y⁴=(x⁴+y⁴-x²y²) (x⁴+y⁴+x²y²)=4(x⁴+y⁴-x²y²) =8
=>(x⁴+y⁴-x²y²)=2=>x⁴+y⁴=2+x²y²  kết hợp với x⁴+y⁴+x²y²=4
=> 2+x²y²+x²y²=4 => x²y²=1 (x⁴y⁴ sẽ = 1 nốt ) => x⁴+y⁴=3 và x⁸+y⁸=7
Xét (x⁴+y⁴)³=x¹²+y¹²+3x⁴y⁴(x⁴+y⁴)=x¹²+y¹²+3.1.3=3³=27
=>x¹²+y¹²=18=> A = 18+1=19

Xét: \(\dfrac{a+b}{2c}\)≥\(\dfrac{2\sqrt{ab}}{2c}\)=\(\dfrac{\sqrt{ab}}{c}\)
cmtt ta được: A≥ (\(\dfrac{\sqrt{ab}}{c}\))²+(\(\dfrac{\sqrt{bc}}{d}\))²+(\(\dfrac{\sqrt{cd}}{a}\))²+(\(\dfrac{\sqrt{ad}}{b}\))²
tiếp tục áp dụng bất đẳng thức cô si 4 số
=>A ≥\(4\sqrt[4]{\left(\dfrac{\sqrt{ab}.\sqrt{bc}.\sqrt{cd}.\sqrt{da}}{b.c.d.a}\right)^2}\)=4.1
=>A≥4
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=d
Vậy Min A=4 <=> a=b=c=d

từ đề bài=> a²+2\(\sqrt{2}\)ab+2b²=2012-\(\sqrt{2}\). 2011
               =>a²+2b²-2012 =-\(\sqrt{2}\) . (2011-2ab)
               =>(a²+2b²-2012)²= 2(2011-2ab)^2
=> (a²+2b²-2012)²≡0(mod2) mà 2 là số nguyên tố
 =>a²+2b²-2012≡0(mod2)
=> (a²+2b²-2012)²≡0(mod4) (1)
 ta có 2011-2ab là số lẻ vì 2ab chẵn=>(2011-2ab)²lẻ
=> 2(2011-2ab)² chỉ chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (2)

từ (1) và (2)=> (a²+2b²-2012)²= 2(2011-2ab)² vô lí 
Vậy không tồn tại số nguyên a,b thoả mãn (a+b√2)² = 2012 + 2011√2

Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn 2ⁿ+11 chia hết cho 2^k-1.

+)Đặt A = n⁴+8n³+17n²+4n+6
    =>  A= (n²+4n)²+(n+2)²+2>0
    =>  A> (n²+4n)² 
+)Xét với n = 0 => A= 6 (không thỏa mãn)
Xét hiệu B=(n²+4n+1)²-A
                =n⁴+16n²+1+8n³+2n²+8n-n⁴-8n³-17n²-4n-6
                =n²+4n-5
                =(n+2)²-9
TH1:B≤0 <=> -5≤n≤1 hay n∈{-5,-4,-3,-2,-1,1} vì n khác 0(cmt)
ta có A=(n²+4n)²+(n+2)²+2= n²(n+4)²+(n+2)²+2
Vì A là số chính phương nên A≡ 0,1(mod4)và A≡0,1,4(mod 5)
Ta xét với n≡0 (mod 4)=> A≡0+4+2≡2 (mod4) => loại
                 n≡ 1 (mod 4)=> A≡ 25+ 9+2≡0 (mod4) => chọn
 cmtt với n≡3(mod 4)=>A≡0(mod 4)=> chọn
               n≡ 2(mod 4) => A≡2(mod4) => loại
Ta xét tiếp với mod 5 với n≡ 0,1,2,3,4 thì chỉ có n≡ 0,1 thỏa mãn
=> n ∈{-5,1}
Từ đây ta thay với n= -5 hay 1 thì (n+2)²-9=0
=>B=0 và A=(n²+4n+1)²
=> n∈{1,-5}
TH2: B>0=> (n²+4n)<A<(n²+4n+1)²
              => không tồn tại số chính phương A
Vậy để n⁴ + 8n³ + 17n² + 4n + 6 là số chính phương thì n∈{1,-5}