Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow a  = \left( {1;0;5} \right) = \overrightarrow i  + 5\overrightarrow k \); \(\overrightarrow b  = \left( {1;3;9} \right) = \overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  + 9\overrightarrow k \).

b) Ta có: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow i  + 5\overrightarrow k  + \overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  + 9\overrightarrow k  = 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  + 14\overrightarrow k \). Do đó, \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {2;3;14} \right)\)

\(2\overrightarrow a  = 2\left( {\overrightarrow i  + 5\overrightarrow k } \right) = 2\overrightarrow i  + 10\overrightarrow k \). Do đó, \(2\overrightarrow a  = \left( {2;0;10} \right)\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Tọa độ vecto đối của \(\overrightarrow{a}\) là \((-x;-y;-z)\)

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)

Hướng dẫn giải

Tọa độ của vecto \(\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\) là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=1-2\cdot\left(-1\right)+0=1+2=3\\y=8-2\cdot3+5=2+5=7\\z=6-2\cdot3+4=4\end{matrix}\right.\)

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right),\overrightarrow {OC}  = \left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\)

a) Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\).

Do đó, \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).

b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\). Do đó, \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

G là trọng tâm của ΔABC 

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3\cdot x_G\\y_A+y_B+y_C=3\cdot y_G\\z_A+z_B+z_C=3\cdot z_G\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=3\cdot3-2-9=-2\\y_C=3\cdot0-9-4=-13\\z_C=3\cdot4-\left(-1\right)-5=12-5+1=13-5=8\end{matrix}\right.\)

Vậy: C(-2;-13;8)

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow i .\overrightarrow i  = \left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|.\cos {0^0} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1\)

Vì \(\overrightarrow i  \bot \overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0;\overrightarrow i  \bot \overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0\)

b) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow i  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow i  = x.{\overrightarrow i ^2} + y\overrightarrow {.j} .\overrightarrow i  + z.\overrightarrow k .\overrightarrow i  = x\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow j  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow j  = x\overrightarrow i .\overrightarrow j  + y{\overrightarrow j ^2} + z\overrightarrow k .\overrightarrow j  = y\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow k  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right).\overrightarrow k  = x\overrightarrow i .\overrightarrow k  + y\overrightarrow j .\overrightarrow k  + z.{\overrightarrow k ^2} = z\)

c) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right).\left( {x'\overrightarrow i  + y'\overrightarrow j  + z'\overrightarrow k } \right)\)

\( = xx'{\overrightarrow i ^2} + xy'.\overrightarrow i .\overrightarrow j  + xz'\overrightarrow i .\overrightarrow k  + x'y.\overrightarrow i .\overrightarrow j  + yy'.{\overrightarrow j ^2} + yz'\overrightarrow j .\overrightarrow k  + zx'.\overrightarrow k .\overrightarrow i  + zy'.\overrightarrow k \overrightarrow j  + zz'{\overrightarrow k ^2}\)

Mà \(\overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0;\overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0;\overrightarrow j .\overrightarrow k  = 0\) nên: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = xx' + yy' + zz'\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(1-4;4+1;2+0\right)\)

=>\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(-3;5;2\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2=\left(-3\right)\cdot\left(-3\right)+5\cdot5+2\cdot2=9+25+4=38\)

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)

Hướng dẫn giải

a: \(AB=\sqrt{\left(3-0\right)^2+\left(-2-2\right)^2+\left(1-1\right)^2}=5\)

\(AC=\sqrt{\left(-2-0\right)^2+\left(5-2\right)^2+\left(7-1\right)^2}=7\)

\(BC=\sqrt{\left(-2-3\right)^2+\left(5+2\right)^2+\left(7-1\right)^2}=\sqrt{110}\)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC=12+\sqrt{110}\)

b: Xét ΔABC có \(cosBAC=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{5^2+7^2-110}{2\cdot5\cdot7}=\dfrac{-36}{70}=-\dfrac{18}{35}\)

=>\(\widehat{BAC}\simeq121^0\)

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)

Hướng dẫn giải

Gọi D(x; y; z) là vị trí của máy bay sau 10 phút bay tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B). Vì hướng của máy bay không đổi nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BD} \) cùng hướng. Do vận tốc máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B bằng thời gian bay từ B đến D nên \(AB = BD\). Do đó, \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB}  = \left( {140;50;1} \right)\).

Mặt khác: \(\overrightarrow {BD}  = \left( {x - 940;y - 550;z - 8} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 940 = 140\\y - 550 = 50\\z - 8 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\;080\\y = 600\\z = 9\end{array} \right.\)

Vậy D(1 080; 600; 9). Vậy tọa độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là (1 080; 600; 9).

(Trả lời bởi datcoder)