Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Hướng dẫn giải

Theo Ví dụ 6 ta có: \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( { - 120;0;300} \right);\left| {\overrightarrow {A'B'} } \right| = 60\sqrt {29} cm,O'\left( {0;450;0} \right),\)\(A'\left( {240;450;0} \right)\)

Do đó, \(\overrightarrow {A'O'}  = \left( { - 240;0;0} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {A'O'} } \right| = 240cm\)

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {A'B'} ;\overrightarrow {A'O'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {A'O'} }}{{\left| {\overrightarrow {A'B'} } \right|.\left| {\overrightarrow {A'O'} } \right|}} = \frac{{\left( { - 120} \right)\left( { - 240} \right) + 0.0 + 300.0}}{{60\sqrt {29} .240}} = \frac{{2\sqrt {29} }}{{29}}\)

\( \Rightarrow \widehat {B'A'O'} \approx {68^0}\). Vậy \(\alpha  \approx {68^0}\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Theo Ví dụ 7 ta có, khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là A(2; 1; 0,5), khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là \(B\left( { - 1; - 1,5;0,8} \right)\).

Ta có: \(OA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + 0,{5^2}}  = \frac{{\sqrt {21} }}{2}km\), \(OB = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1,5} \right)}^2} + 0,{8^2}}  = \frac{{\sqrt {389} }}{{10}}km\).

Vì gốc O đặt tại điểm xuất phát và \(OA > OB\) nên khinh khí cầu thứ hai gần điểm xuất phát hơn.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a: Tọa độ của vecto \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\) là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=3-3+6=6\\y=1+0+\left(-1\right)=0\\z=2+4+0=6\end{matrix}\right.\)

Tọa độ của vecto \(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c}\) là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\cdot3-3\cdot\left(-3\right)-5\cdot6=6+9-30=-15\\y=2\cdot1-3\cdot0-5\cdot\left(-1\right)=2+5=7\\z=2\cdot2-3\cdot4-5\cdot0=4-12=-8\end{matrix}\right.\)

b: \(\overrightarrow{a}\cdot\left(-\overrightarrow{b}\right)=-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)

\(=-\left(3\cdot\left(-3\right)+1\cdot0+2\cdot4\right)\)

=-17

\(2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=2\cdot\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=2\cdot\left(3\cdot6+1\cdot\left(-1\right)+2\cdot0\right)\)

=34

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( {4 - \left( { - 4} \right); - 4 - 3;2 - 3} \right) = \left( {8; - 7; - 1} \right),\overrightarrow {MP} \left( {7;3; - 4} \right)\)

Vì \(\frac{8}{7} \ne \frac{{ - 7}}{3} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 4}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \) không cùng phương. Do đó, ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

b)

Ta có: \(\overrightarrow {NM} \left( { - 8;7;1} \right),\overrightarrow {NP} \left( { - 1;10; - 3} \right)\).

Suy ra: \(\overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {NP}  = \left( {\left( { - 8} \right) + \left( { - 1} \right);7 + 10;1 - 3} \right) = \left( { - 9;17; - 2} \right)\)

Gọi tọa độ điểm Q là Q(x; y; z), ta có: \(\overrightarrow {NQ} \left( {x - 4;y + 4;z - 2} \right)\)

Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì \(\overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {NQ} \)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 =  - 9\\y + 4 = 17\\z - 2 =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 5\\y = 13\\z = 0\end{array} \right.\). Vậy \(Q\left( { - 5;13;0} \right)\)

c) Ta có: \(NM = \left| {\overrightarrow {NM} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {7^2} + {1^2}}  = \sqrt {114} \), \(NP = \left| {\overrightarrow {NP} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{10}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {110} \)

Vậy chu vi hình bình hành MNPQ là: \(C = 2\left( {NP + NM} \right) = 2\left( {\sqrt {114}  + \sqrt {110} } \right)\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a: Tọa độ trọng tâm của ΔABC là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+0+4}{3}=\dfrac{5}{3}\\y=\dfrac{0+\left(-3\right)+\left(-1\right)}{3}=-\dfrac{4}{3}\\z=\dfrac{1+1+4}{3}=\dfrac{6}{3}=2\end{matrix}\right.\)

b: \(\overrightarrow{AB}=\left(0-1;-3-0;1-1\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-1;-3;0\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(4-1;-1-0;4-1\right)\)

=>\(\overrightarrow{AC}=\left(3;-1;3\right)\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-1\right)\cdot3+\left(-3\right)\cdot\left(-1\right)+0\cdot3=-3+3+0=0\)

=>ΔABC vuông tại A

c: \(AB=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-3\right)^2+0^2}=\sqrt{10}\)

\(AC=\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2+3^2}=\sqrt{19}\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(tanABC=\dfrac{AC}{AB}=\sqrt{\dfrac{19}{10}}\)

=>\(\widehat{ABC}\simeq54^0\)

 

 

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)

Hướng dẫn giải

Đặt tên các điểm như hình vẽ.

Khi đó, \(O'\left( {0;0;3} \right),B'\left( {8;6;3} \right)\).

Vì phòng học thiết kế dạng hình hộp chữ nhật nên hình O’C’B’A’ là hình chữ nhật. Gọi là giao điểm của hai đường chéo O’B’ và A’C’ nên I là trung điểm của O’B’.

Vì đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học nên đèn trùng với I.

Do đó: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_{O'}} + {x_{B'}}}}{2} = 4\\{y_I} = \frac{{{y_{O'}} + {y_{B'}}}}{2} = 3\\{z_I} = \frac{{{z_{O'}} + {z_{B'}}}}{2} = 3\end{array} \right.\). Suy ra, I(4; 3; 3). Vậy tọa độ của điểm treo đèn là (4; 3; 3).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Vì \(\overrightarrow {OM} \left( {25;15; - 10} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {{{25}^2} + {{15}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}}  = 5\sqrt {38}  > 30\)

Do đó, ra đa không thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là (25; 15; -10) đối với hệ tọa độ nói trên.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)