Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(x';y';z'\right)\).
a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}=1\) và \(\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0\).
b) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\) để tính các tính vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i},\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i},\overrightarrow{a}.\overrightarrow{j}\) và \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{k}\).
c) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow{b}=x'\overrightarrow{i}+y'\overrightarrow{j}+z'\overrightarrow{k}\) để tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\).
a) Ta có: \(\overrightarrow i .\overrightarrow i = \left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|.\cos {0^0} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1\)
Vì \(\overrightarrow i \bot \overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow j = 0;\overrightarrow i \bot \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow k = 0\)
b) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow i = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow i = x.{\overrightarrow i ^2} + y\overrightarrow {.j} .\overrightarrow i + z.\overrightarrow k .\overrightarrow i = x\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow j = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow j = x\overrightarrow i .\overrightarrow j + y{\overrightarrow j ^2} + z\overrightarrow k .\overrightarrow j = y\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow k = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right).\overrightarrow k = x\overrightarrow i .\overrightarrow k + y\overrightarrow j .\overrightarrow k + z.{\overrightarrow k ^2} = z\)
c) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right).\left( {x'\overrightarrow i + y'\overrightarrow j + z'\overrightarrow k } \right)\)
\( = xx'{\overrightarrow i ^2} + xy'.\overrightarrow i .\overrightarrow j + xz'\overrightarrow i .\overrightarrow k + x'y.\overrightarrow i .\overrightarrow j + yy'.{\overrightarrow j ^2} + yz'\overrightarrow j .\overrightarrow k + zx'.\overrightarrow k .\overrightarrow i + zy'.\overrightarrow k \overrightarrow j + zz'{\overrightarrow k ^2}\)
Mà \(\overrightarrow i .\overrightarrow k = 0;\overrightarrow i .\overrightarrow j = 0;\overrightarrow j .\overrightarrow k = 0\) nên: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\)