Question

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(x';y';z'\right)\).

a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}=1\) và \(\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0\).

b) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\) để tính các tính vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i},\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i},\overrightarrow{a}.\overrightarrow{j}\) và \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{k}\).

c) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow{b}=x'\overrightarrow{i}+y'\overrightarrow{j}+z'\overrightarrow{k}\) để tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\).

Answer 1

a) Ta có: \(\overrightarrow i .\overrightarrow i  = \left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|.\cos {0^0} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1\)

Vì \(\overrightarrow i  \bot \overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0;\overrightarrow i  \bot \overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0\)

b) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow i  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow i  = x.{\overrightarrow i ^2} + y\overrightarrow {.j} .\overrightarrow i  + z.\overrightarrow k .\overrightarrow i  = x\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow j  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow j  = x\overrightarrow i .\overrightarrow j  + y{\overrightarrow j ^2} + z\overrightarrow k .\overrightarrow j  = y\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow k  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right).\overrightarrow k  = x\overrightarrow i .\overrightarrow k  + y\overrightarrow j .\overrightarrow k  + z.{\overrightarrow k ^2} = z\)

c) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right).\left( {x'\overrightarrow i  + y'\overrightarrow j  + z'\overrightarrow k } \right)\)

\( = xx'{\overrightarrow i ^2} + xy'.\overrightarrow i .\overrightarrow j  + xz'\overrightarrow i .\overrightarrow k  + x'y.\overrightarrow i .\overrightarrow j  + yy'.{\overrightarrow j ^2} + yz'\overrightarrow j .\overrightarrow k  + zx'.\overrightarrow k .\overrightarrow i  + zy'.\overrightarrow k \overrightarrow j  + zz'{\overrightarrow k ^2}\)

Mà \(\overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0;\overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0;\overrightarrow j .\overrightarrow k  = 0\) nên: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = xx' + yy' + zz'\)