a) Tam giác ABC vuông tại A (gt).

=> A; B; C cùng thuộc đường tròn đường kính BC. (1)

Xét đường tròn đường kính MC: 

D \(\in\) đường tròn đường kính MC (gt).

=> \(\widehat{MDC}=90^o\) hay \(\widehat{BDC}=90^o.\)

Tam giác BDC vuông tại D (\(\widehat{BDC}=90^o\)).

=> B; D; C cùng thuộc đường tròn đường kính BC. (2)

Từ (1); (2) => A; B; C; D cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

b) Xét tam giác ABC có:

+ O là trung điểm BC (gt).

+ M là trung điểm AC (gt).

=> OM là đường trung bình.

=> OM // AB (Tính chất đường trung bình).

Mà AB \(\perp\) MC (AB \(\perp\) AC).

=> OM \(\perp\) MC.

Xét đường tròn đường kính MC:  OM \(\perp\) MC (cmt); M \(\in\) đường tròn đường kính MC (gt).

=> OM là tiếp tuyến. 

a: Gọi O là trung điểm của MC

=>O là tâm đường tròn đường kính MC

Xét (O) có

ΔCNM nội tiếp

CM là đường kính

Do đó: ΔCNM vuông tại N

=>MN\(\perp\)NC tại N

=>MN\(\perp\)CB tại N

Xét tứ giác ABNM có \(\widehat{MNB}+\widehat{MAB}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABNM là tứ giác nội tiếp

=>A,B,N,M cùng thuộc một đường tròn

b: ABNM là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{ANM}=\widehat{ABM}\)

=>\(\widehat{ANM}=\widehat{ABI}\)(1)

Xét tứ giác CIAB có \(\widehat{CIB}=\widehat{CAB}=90^0\)

nên CIAB là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\)

mà \(\widehat{ACI}=\widehat{MCI}=\widehat{MNI}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MI}\right)\)

nên \(\widehat{ABI}=\widehat{MNI}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MNI}=\widehat{MNA}\)

=>NM là phân giác của góc ANI

a: Xét tứ giác OAMD có \(\widehat{OAM}+\widehat{ODM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OAMD là tứ giác nội tiếp

=>O,A,M,D cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

ΔADC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔADC vuông tại D

=>AD\(\perp\)DC tại D

=>AD\(\perp\)BC tại D

Xét ΔABC vuông tại A có AD là đường cao

nên \(AD^2=BD\cdot CD\)

c: Xét (O) có

MA,MD là tiếp tuyến

Do đó: MA=MD

=>\(\widehat{MAD}=\widehat{MDA}\)

\(\widehat{MDA}+\widehat{MDB}=\widehat{ADB}=90^0\)

\(\widehat{MAD}+\widehat{MBD}=90^0\)(ΔDBA vuông tại D)

mà \(\widehat{MAD}=\widehat{MDA}\)

nên \(\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\)

=>MD=MB

mà MD=MA

nên MB=MA

=>M là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M,O lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MO là đường trung bình của ΔABC

=>MO//BC

a: Gọi I là trung điểm của CM

Xét (I) có

ΔCDM nội tiếp

CM là đường kính

Do đó: ΔCDM vuông tại D

=>góc CDM=góc CDB=90 độ

Xét tứ giác ABCD có

góc CAB=góc CDB=90 độ

=>ABCD nội tiếp

b: Xét ΔCAB có CO/CB=CM/CA=1/2

nên OM//AB

=>OM vuông góc AC tại M

=>OM là tiếp tuyến của (I)

a) Để chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. Ta có:

- Góc BAD = góc BAC (cùng chắn cung BC)

- Góc BCD = góc BCA (cùng chắn cung BA)

Do đó, góc BAD + góc BCD = góc BAC + góc BCA = 90 độ (vì tam giác ABC vuông tại A)

Suy ra, tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

b) Để chứng minh OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC, ta cần chứng minh OM vuông góc với MC. Ta có:

- Góc OMB = góc ONB (cùng chắn cung OB)

- Góc ONB = góc MNB (do tam giác MNB vuông tại N)

- Góc MNB = góc MCB (do tam giác MCB vuông tại C)

- Góc MCB = góc ACB (do tam giác ABC vuông tại A)

Do đó, góc OMB = góc ACB

Suy ra, OM vuông góc với MC.

Vậy OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC.

a: góc CIM=góc CNM=1/2*180=90 độ

=>NM vuông góc BC

góc MAB+góc MNB=180 độ

=>MABN nội tiếp

góc CAB=góc CIB=90 độ

=>CIAB nội tiếp

b: góc ANM=góc MBA

góc INM=góc ICA

mà góc MBA=góc ICA

nên góc ANM=góc INM

=>NM là phân giác của góc ANI

c: Xét ΔBNM vuông tại N và ΔBIC vuông tại I có

góc NBM chung

=>ΔBNM đồng dạng với ΔBIC

=>BN/BI=BM/BC

=>BN*BC=BI*BM

Xét ΔCNM vuông tại N và ΔCAB vuông tại A có

góc NCM chung

=>ΔCNM đồng dạng với ΔCAB

=>CN/CA=CM/CB

=>CN*CB=CA*CM

=>BM*BI+CM*CA=BC^2=AB^2+AC^2