Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là 1 điểm thuộc cạnh AC (M khác A và C).Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng:
a, ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn
b, NM là tia phân giác của góc ANI
c,  BM.BI + CM.CA= AB^2+AC^2
Giúp mình với

Answer 1

a: góc CIM=góc CNM=1/2*180=90 độ

=>NM vuông góc BC

góc MAB+góc MNB=180 độ

=>MABN nội tiếp

góc CAB=góc CIB=90 độ

=>CIAB nội tiếp

b: góc ANM=góc MBA

góc INM=góc ICA

mà góc MBA=góc ICA

nên góc ANM=góc INM

=>NM là phân giác của góc ANI

c: Xét ΔBNM vuông tại N và ΔBIC vuông tại I có

góc NBM chung

=>ΔBNM đồng dạng với ΔBIC

=>BN/BI=BM/BC

=>BN*BC=BI*BM

Xét ΔCNM vuông tại N và ΔCAB vuông tại A có

góc NCM chung

=>ΔCNM đồng dạng với ΔCAB

=>CN/CA=CM/CB

=>CN*CB=CA*CM

=>BM*BI+CM*CA=BC^2=AB^2+AC^2