a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)

b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)

\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow3x^3+3y^3\ge3x^2y+3xy^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2\left(x-y\right)-3y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\left(đúng\right)\)

a: Ta có: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Dễ thấy:

     \(VT\ge\left(x+y\right)^2+1-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\)

Áp dụng Cô-si:

     \(\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}.1}=\sqrt{3}\left|x+y\right|\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)

Do đó:

     \(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right),\forall x,y\in R\)

\(BĐT\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y+z}+1\right)+\left(\dfrac{y}{x+z}+1\right)+\left(\dfrac{z}{x+y}+1\right)\ge\dfrac{3}{2}+3=\dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge9\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

Nhân vế theo vế 2 BĐT ta được

\(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge3\cdot3\sqrt[3]{1}=9\)

Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng

Vậy ta được đpcm

Phải có thêm dữ kiện x,y,z > 0 nữa nhé.

Áp dụng BĐT C - S dạng Engel, ta có:

Cycma(x/(y + z)) = cycma(x^2/(xy + xz)) >= cycma(x)^2/(2cycma(xy)) >= cycma(x)^2/((2cycma(x)^2)/3) = 3/2 (đpcm)

đây là BĐT Nesbit cho 3 số thực dương nên thiếu điều kiện x,y,z\(\in R\)*

Áp dụng BĐT Cauchy dạng engel ta có:

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c(đpcm) \)

theo bđt cauchy ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{b}+b\ge2a\\\dfrac{b^2}{c}+c\ge2b\\\dfrac{c^2}{a}+a\ge2c\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+2c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow dpcm\)

Theo AM-GM , có :

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)

Nhân vế theo vế :

\( \left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Kurosaki Akatsu​   mình đang cần chứng minh phần sau nhé:))

Bạn ơi đề có nhầm không chứ khi dấu = xảy ra tức là a=b=1/2 thì Bt có Gt là 4 rồi

Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng